조합 공식

순열이나 조합을 처음 접할 때 익숙해지기 위해서는 약간의 시간이 필요합니다 그래서 저는 가능한 많은 예를 드는 것이 나쁘지 않다고 생각합니다. 각각의 예마다 우리가 했던 것들을 복습할 것이며, 추가적인 내용도 배울 것 입니다. 이제 다른 예를 들어봅시다. 같은 맥락의 것 입니다. 이 영상 이후에는 다른 예들을 사용할 것 입니다. 의자에 사람들을 앉히는 것과 다른 예를 말입니다. 하지만 여기서는 그 예를 사용하겠습니다. 6명의 사람이 있다고 다시 가정해 봅시다. 사람 A,B,C,D,E,F 가 있다고 가정해 봅시다. 이렇게 6명의 사람이 있습니다. 이제 이 6명을 4개의 의자에 앉혀봅시다. 이 과정을 꽤 빨리 할 수 있습니다. 1,2,3,4개의 의자 우리는 이 과정을 몇 번 봤습니다. 이 6명을 4개의 의자에 앉히는 경우, 순열이 몇가지 입니까? 의자 순서대로 앉힌다고 하면 첫 번째 의자에 앉힐 수 있는 가지수는 6가지 라고 할 수 있습니다. 그리고 각각의 6가지 경우마다 여기에 누구를 앉힐지에 대한 5가지의 경우가 있을 것 입니다. 왜냐하면 한 사람은 벌써 앉아잇기 때문입니다. 그리고 이 두사람을 앉힌 각각의 30가지 경우마다 3번 의자에 누구를 앉힐지에 대한 4가지 경우가 있을 것 입니다. 그 다음엔 각각의 120가지 경우마다 4번의자에 누구를 앉힐지에 대해 3가지의 경우가 있을 것 입니다. 여기서 나온 6 x 5 x 4 x 3 는 순열의 수 입니다. 우리는 이 전의 순열에 관한 영상에서 우리가 순열 공식에 대해 얘기할 때 이 것을 팩토리얼의 개념을 사용해 쓰고 싶다면 6! , 즉, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 을 이용할 수 있습니다. 하지만 우리는 여기서 2 x 1 을 없애고 싶습니다. 그래서 우리는 6!을 2 x 1으로 나눌 것 입니다. 2 x 1 은 무엇입니까? 2 x 1 은 2! 입니다. 이게 왜 나왔냐구요? 우리는 6! 의 앞 4개 숫자의 곱만을 원했기 때문입니다. 그래서 4가 나온 것 입니다. 우리는 첫 4개의 수만을 원했기 때문에 6 - 4 를 해서 2가 나온 것 입니다. 6 - 4 이게 우리가 없애고 싶은 숫자의 개수입니다. 그래서 우리는 2개의 숫자를 없애고 싶은 것 입니다. 그래서 2! 이 나오게 됩니다. (6-4) ! 이것은 2! 이 될 것 입니다. 즉, 2 x 1 이 말입니다. 그래서 이것들이 서로 없어집니다. 제가 여기서 특정한 숫자를 넣었지만 이 것은 순열 공식의 복습입니다. 즉, 사람들이 " 내가 n 이라고 하면 n개의 물건을 갖고 k가지 자리에 넣을 때 몇 가지의 순열을 만들 수 있는지를 알아보려면 그 공식은 n! / (n-k) ! 이 될 거야" 라고 말하는 것과 같습니다 그게 우리가 여기서 한 것 입니다. 여기서 n = 6 이였고, k = 4 였습니다. k = 4 색깔로 써서 대응하는 것을 더 보기 쉽게 하죠. 이 모든 것은 복습이였습니다. 그 다음에 우리는 조합의 세계에 들어갔습니다. 조합의 세계에서는, 아니, 순열의 세계에서는 누가 어떤 의자에 앉는지에 대한 차이를 두었습니다. 예를 들어, 순열의 세계에서는 이건 모두 복습입니다, 조합 영상에서 했기 때문입니다, 순열의 세계에서는 A,B,C,D 그리고 D, A, B, C 이 둘은 서로 다른 순열 일 것입니다. 이 둘은 각각 한가지의 경우로 셀 것 입니다. 총 경우의 수는 30 x 12, 즉, 360이 될 것 입니다. 그래서 각각의 것들은 한 순열이고 이건 또 다른 순열이고 이것을 계속하면 360개의 순열을 만들 것 입니다. 하지만 우리는 조합에서 배웠습니다. 조합을 생각할 때는, 조합을 쓰기로 하겠습니다. n이 고른다고 하면 n이 k 를 고른다고 하면, 몇 가지의 조합을 만들 수 있을까요? 우리가 k 개의 물건을 가지고 몇 가지의 조합을 만들 수 있는지 알아보려면 먼저 n 개로 시작하죠, n 개의 물건이 있다고 하고 몇 가지의 k개의 조합이 있냐고 하면 우리는 이 둘을 같은 조합이라고 셉니다. 그래서 우리가 정말 하고 싶은 것은 순열의 개수를 갖고가서 순열의 개수를 갖고가서 즉, n! / (n-k) ! 을 갖고 가서 4명의 사람들을 배열 할 수 있는 가지 수로 나누고 싶습니다. 다시 한 번 말하지만, 제가 처음 이걸 배웠을 때처럼 이해하는데 시간이 좀 걸립니다. 이해하는데 시간이 좀 걸린다고 해서 문제가 있는게 아닙니다. 처음에는 좀 헷갈릴 수 있습니다. 하지만 계속 생각하다 보면 언젠가는 정확히 알 수 있게 될 겁니다. 우리가 여기서 하고싶은 것은 4가지를 뽑아내는 경우를 알아내는 것 입니다. 왜냐하면, 다시 말하지만 순열에서는 서로 다른 4개짜리 배열을 다 세는 것 이지만, 여기서 우리는 각각 다른 배열을 모두 세고 싶지 않습니다. 우리는 그것들을 모두 하나의 조합이라고 볼 것 입니다. 그래서 우리는 4가지로 묶을 수 있는 경우의 수를 셀 것 입니다. 혹은, k가지로 묶을 수 있는 경우의 수를 말입니다. k 가지의 물건은 k가지의 자리에 배열하는 방법의 수는 몇 가지 일까요? 이 영상을 잠시 멈추길 바랍니다. 왜냐하면 이 것은 첫 번째 순열 영상에 대한 복습이기 때문입니다. 만약 우리가 k개의 자리가 있다면, 여기가 첫번째 자리, 두번째, 세번째, ..... 계속해서 k 번째 자리까지 간다면 첫 번째 자리에서 k 개의 경우의 수가 있습니다. 첫 번째 자리를 가질 수 있는게 k개 그래서 경우의 수가 k 개 입니다. 그리고 각각 k 개의 경우마다 두 번째자리에는 몇가지 경우가 있을 수 있을까요? k-1 가지 일 것 입니다. 벌써 첫 번째 자리에 뭔가를 놨기 때문이죠 여기엔 몇가지 경우의 수가 있을까요? k - 2 맨마지막 자리에는 1가지를 놓을 수 있을 것 입니다. 이제 한 번 봅시다. k x (k-1) x (k-2) x (k-3) 이렇게 쭉 해서 1까지 곱합니다. 그리고 이것은 k! 입니다. k 개의 물건을 k개의 자리에 놓는 경우의 수는 k ! 가지 입니다. 4 개의 물건을 4 개의 자리에 놓는 경우의 수는 4 ! 가지 입니다. 3 개의 물건을 3 개의 자리에 놓는 경우의 수는 3! 가지 입니다. 그래서 우리는 이것을 k! 으로 나누면 됩니다. 그래서 이 식을 정리하면 n! / k! (n-k)! 이 됩니다. 여기 이 것은 조합의 공식 입니다. 이 공식은 이항계수 라고도 불립니다. 사람들은 n이 k를 고른다고 하며 이렇게 쓰기도 할 것 입니다. n이 k 를 고른다. 특히 이항계수의 개념을 사용할 땐 말입니다. 하지만 저는 여기서 약간 추상적으로 얘기했습니다. 일반공식으로 넘어갈 때 말입니다. 우리의 예로 다시 돌아가봅시다. 우리의 예에서 우리는 6명을 4개의 의자에 앉히는 방법의 가지수가 360가지 라는 것을 알았습니다. 하지만 우리가 누가 어떤 의자에 앉는지를 신경쓰지 않고 단순히 6명의 사람들 중에서 4명을 고르는 방법의 가지수가 몇 가지인지를 알아보려 했다면 어떻게 될까요? 6 명으로 시작했다면 4명을 고르는 조합을 몇 가지 만들 수 있을까요? 다른 방법으로 생각해 보면 6개의 물건 중에서 4개를 고르는 방법은 몇가지 일까요? 그리고 이 경우의 수는, 먼저 공식에 대입하겠습니다, 그리고 나서 이유를 설명하죠 항상하듯이 말입니다. 저는 공식을 매우 좋아합니다 제가 오랜만에 공식을 접할 때 마다, 외우는게 아니라, 다시 생각해 냅니다. 왜냐하면 외우는 것은 어떻게 푼건지 이해하지 못하는 방법이기 때문입니다. 여기서 공식을 적용하면, 하지만 저는 여러분이 어떻게 이런 공식이 되는지 알기를 바랍니다, 6! / 4! x (6-4) ! 이 됩니다. 여기 네모 친 이 부분은 (6-4) ! 이 됩니다 맨 처음에 보면 약간 헷갈릴 수 있으니 쓰도록 하겠습니다. 그리고 이것을 정리해서 쓰면 6! / 4! 2! 이 되고 이것을 다시 계산하면 팩토리얼을 풀어서 쓰면 6x5x4x3x2x1 나누기 ( 4x3x2x1 곱하기 2x1) 이 됩니다. 이것들끼리 약분이 되고 1은 값에 영향을 주지 않으니 1을 지우도록 하겠습니다. 여기 3은 약분이 되고 여기의 4도 약분이 되고 6을 2로 나누면 3이 될 것이고 그러면 우리는 3 x 5 만 남게 될 것 입니다. 그래서 우리는 15개의 조합이 남게 될 것 입니다. 6명을 4개의 의자에 앉히는 것에 대한 순열은 360개 인데, 조합은 15개 밖에 없습니다. 같은 4명에 대한 서로다른 배열을 각각 세지 않기 때문입니다. 즉, 우리는 같은 4명의 사람들이 있다면 그건 한 조합이라고 생각하는 것 입니다. 4명을 4개의 의자에 배열하는 경우의 수가 몇가지 인지 알 수 있습니다. 여기 4!이 그 것을 뜻하는 것 입니다. 여기 4! 부분입니다. 풀어쓰면 4x3x2x1, 즉, 24 입니다. 그래서 우리는 360을 가져와서 24로 나누어서 15가 나온 것 입니다. 하지만 다시한 번, 이게 어디서 오는 것 인지 확실히 하겠습니다. 여기 이 부분은, 동그라미를 치겠습니다, 이 부분은 순열의 갯수 입니다. 그래서 6x5x4x3 이 나올 수 있는 것 입니다. 우리가 여기 위에서 한 것과 일치합니다. 그리고 나서 4개 물건은 4 자리에 배열하는 방법의 수로 나눈 것 입니다.