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주요 내용

예제: 대수함수의 정의역

함수의 정의역을 구하는 예제.

동영상 대본

함수의 범위를 찾는 연습을 좀 더 해볼게요 그래서 함수 g(x)를 더하면 이게 함수의 정의가 되는 거고 이건 우리에게 말해주죠 x를 집어넣으면 결과는 루트 6 마이너스 좀더 깔끔하게 써 볼게요 루트 6 마이너스 절댓값 x 분의 1이 되는 거예요 그러면 언제나와 같이 영상을 잠시 멈추고 이 함수의 정의에 의하면 범위가 어떻게 될지 한번 생각해 보세요 g의 범위가 뭐가 될지 이 함수의 모든 x의 값의 집합은 뭐가 될지 이 함수가 정의될 수 있게 하는 모든 입력하는 값의 집합을 생각해 보려면 이 함수가 정의되지 않을 때를 먼저 생각해 봐야겠죠 우리가 만약 1을 0으로 나누려 한다면 함수가 정의되지 않겠죠 또는 루트 아래에 음의 값이 있다면 정의되지 않을 거예요 그래서 생각해 보시면 우리가 근호 아래에 갖고 있는 값이 0 또는 음수라면 0 또는 음수라면 만약 0이라면 루트 0은 0이지만 그걸로 뭔가를 나눈다면 정의되지 않겠죠 그리고 음수라면 음수의 제곱근이 정의되지 않을 거예요 적어도 실수에서의 제곱근은 정의되지 않겠죠 그래서 6 빼기 절댓값 x의 값이 0이거나 음수일 때 이 식이 정의되지 않는 거예요 아니면 이걸 생각해 볼 수 있는 다른 방법은 이게 정의되는 경우는 그러니까 g는 정의되죠 만약 그리고 이 만약의 경우에만 (가끔 사람들이 이걸 줄여서 iff이렇게 두 f로 쓰곤 하죠) 만약 그리고 이 만약의 경우에만 (이건 약간 그걸 말하는 수학적 방법이에요) 6 마이너스 절댓값 x가 0보다 크다면 그래서 이게 양수여야 하는 거예요 만약 0이면 분모가 0이고 0으로 나누는 거니까 정의가 안 되고 0보다 작으면 음수의 실수 제곱근은 없으니까 정의가 되지 않죠 그러면 한 번 볼게요 이 명제는 참이죠 그리고 이 식의 양변에 절댓값 x를 더할 수 있겠네요 이 식의 양변에 절댓값 x를 더할 수 있겠네요 그리고 그 결과는 6이 절댓값 x보다 크다고 나오네요 또는 절댓값 x가 6보다 작은 경우라고요 아니면 이렇게 말할 수 있겠네요 이걸 써 볼게요 절댓값 x는 6보다 작다 그리고 이걸 말하는 또 다른 방법은 x는 6보다 작고 마이너스 6보다 커야 한다는 거예요 또는 x가 마이너스 6과 6 사이에 존재한다는 거죠 이 두 개는 서로 대등해요 만약 x의 절댓값의 최댓값이 6보다 작다면 그러면 x는 6보다 작고 마이너스 6보다 큰 거예요 그래서 만약 우리가 이 함수의 범위를 뭔가 근사한 조건제시법으로 쓰고 싶다면 우리는 g의 범위는 실수 R의 집합에 속하는 x 바 x는 마이너스 6보다 크고 6보다 작다 라고 쓸 수 있겠네요 그럼 이제 됐죠 하나 더 해 볼게요 이번 것은 조금 더 지저분해질 거예요 그냥 재밌으라고 여기 함수 h(x)가 있어요 h(x)는 (복합적인 정의가 되는 거예요) 먼저 (x더하기10) 곱하기 (x빼기9) 곱하기 (x빼기5) 분의 x더하기10 h(x)는 x의 값이 5가 아닐 때 이렇게 정의되는 거예요 그리고 두번째로 h(x)는 π와 같아요 x가 5와 같을 때 그러면 다시 한번 영상을 잠시 멈춰 보세요 h의 범위는 무엇일까요 또는 다르게, h가 정의되지 않는 때는 언제일까요 이제 생각해 봅시다 h가 언제 정의되지 않을지 x가 5말고 다른 어떤 값일 땐 이 항목에 해당되는 거고 x가 5일 땐 이 항목에 해당되는 거죠 그래서 여기 위에 이 항목에서는 무엇이 h를 정의되지 않게 할까요 가장 뻔한 경우는 우리가 0으로 나누게 될 때겠죠 그러면 뭐가 0으로 나누게 할까요 그래서 x의 값이 여기다 쓸게요 0으로 나눌 때는 그건 x가 9일 때, x가 마이너스10일 때 일어나는 일이겠죠 그런데 우린 여기서 조심해야 해요 0으로 나누는 경우는 조건처럼 x가 5일 때도 일어날 거예요 하지만 기억할 것은 만약 x가 5라면 우리는 이 부분을 아예 보지 않을 거예요 우린 이 아랫부분을 보겠죠 그러니까 x가 5일 때 이걸 0으로 나누게 되는 건 맞지만 x가 5라면 우리는 이걸 보게 되지도 않을 거라는 거예요 대입하는 값이 5일 땐 정의의 이 부분을 사용하게 되니까요 그래서 여러분이 0으로 나눌 경우는 이런 식으로 써 볼게요 0으로 나눌 경우는 정의의 윗부분 이라고 쓰는 게 좋겠네요 정의의 윗부분 x가 9일 때, x가 마이너스10일 때 그리고 그게 다죠 왜냐면 5는 이 항목에 적용되지 않으니까요 여기 이 부분이 없었더라면 네, 여러분은 x가 5일 때도 썼을 거예요 이제 거의 다 되었는데요 여러분 중 몇몇은 이렇게 말할지도 몰라요 "잠깐, 내가 이걸 단순화시킬 수 없을까? 분모와 분자에 모두 x+10이 있는데 이걸 그냥 지워 버리면 안될까?" 여기서 여러분은 그렇게 할 수는 있겠지만 만약 그렇게 한다면 여러분은 다른 함수의 정의를 세워 버리게 되는 거예요 왜냐면 만약 이걸 그냥 단순화시켜서 x빼기9 곱하기 x빼기5 분의 1이라고 한다면 이건 이제 다른 함수가 되는 거니까요 새로운 함수는 x가 마이너스10일 때도 정의가 되겠지만 원래 것은 그렇지 않아요 마이너스10을 대입하면 0분의 0이 되죠 그래서 정해지지 않은 형태가 되어 버려요 그러니까 이 함수가 생긴 그대로라면 x가 9이거나 마이너스10일 때 정의되지 않을 거예요 그래서 다시 한번, 우리가 우리의 근사한 조건제시법으로 쓰고자 한다면 범위는 바로 실수의 집합 R의 모든 원소인 x 바 x는 x가 9가 아니고 마이너스10이 아니다 라고 정리되죠 그리고 다른 실수 x들은 적용이 될 거예요 5도 마찬가지로 5를 대입해 보면 h(5)는 π와 같겠죠 왜냐면 그럴 땐 여기 이게 되니까요 h(5), x가 5일 때, 우리는 이걸로 적용을 시키죠 x가 9일 때, x가 마이너스10일 때는 0이 되지만 다른 건 모두 정의가 돼요 그래서 여기 바로 이게 함수의 범위입니다