함수의 대칭이란?

오늘은 우함수와 기함수에 대해 배워봅시다 우함수에 대해 얘기하고 오른쪽에선 기함수에 대해 얘기해봅시다 시간이 남으면 우함수도 아니고 기함수도 아닌 함수에 대해 얘기해보죠 그럼 우함수의 정의에 대해 얘기하기 전에 시각적으로 보여드리겠습니다 그게 가장 쉬운 방법인 것 같거든요 그리고 보여드려야 우함수의 정의를 이해하기 쉬울 것입니다 그럼 여기 좌표 축을 그려보겠습니다 x축 그리고 너무 비스듬하게 그렸네요 여기다 다시 y축을 그리겠습니다 그리고 y=f(x)라고 해도 아무 문제 없습니다 그리고 f(x) 그래프를 그리죠 f(x)는 x 제곱, 또는 y는 x 제곱입니다 어느거든지 상관은 없죠 제 1사분면의 부분을 그려보겠습니다 이렇게 생겼죠 그리고 제 2사분면의 부분은 이렇게 생겼죠 대칭적으로 생겼죠?? 제가 봐도 잘 그렸네요ㅎㅎ f(x)= x^2 은 우함수입니다 우함수인지 어떻게 알았느냐고요? 그건 이 함수가 y축에 대해 대칭이기 때문이죠 오른쪽에 있는 함수의 부분을 y축에 대칭시키면 왼쪽의 부분과 같습니다 이런 함수들이 우함수인 것이죠 그리고 우함수의 특이한 성질을 얘기하자면 모든 x에 대해 예를 들어 x는 2라고 해봅시다 그리고 f(2)는 4입니다 2의 제곱이 4이므로 f(2)가 4인 것이죠 그리고 2의 반대인 -2에 대해 생각해봅시다 f(-2)가 몇일까요? f(2)와 같이 4입니다 여러분들도 이걸 당연하게 생각했으면 좋겠네요 우함수는 y축에 대해 대칭이니까 f(2)와 f(-2)가 같은 것이죠 어떠한 값이든 간에 어떤 양수의 함숫값을 알면 그에 대칭되어 음수의 함수값도 같게 나옵니다 그리고 여기서 정의를 내려볼 수 있죠 만약 어떤 함수가 우함수라면 아니면 우함수의 필요충분조건은 아, 여기서 우함수와 짝수 헷갈리지 마세요 (영어로 우함수와 짝수에 모두 even이 들어감) 둘 사이에는 어떠한 상관관계도 없습니다 우함수의 even과 짝수의 even은 완전 다른 것이에요 그리고 기함수의 odd와 홀수의 odd도 마찬가지죠 아무튼 f(x)가 우함수일 필요충분조건은 f(x)가 f(-x)와 같은 것이죠 사실 이걸 처음부터 얘기하지 않은 것은 이게 우함수의 진짜 정의이기 때문이에요 만약 미리 알려드렸다면 이걸 보고 뭐냐고 물으실 수도 있거든요 f(x)=f(-x), 이 식의 뜻은 다음과 같습니다 f(2)를 생각해봅시다 f(2)는 4이죠 아까 정의를 예시를 통해 설명드리겠습니다 f(2)는 f(-2)와 같습니다 그리고 f(x)= x^2라는 경우에 f(2)와 f(-2)는 4입니다 결국에 우함수는 그 함수의 대칭성을 얘기하는 것입니다 수직축에 대해 왼쪽 부분이 오른쪽 부분과 같다는 것이죠 수직축 말고 y축이라고 해도 상관없습니다 그리고 우함수를 완전히 이해하기 위해 그래프 몇 개를 그려보겠습니다 여러분들이 시각적으로 이해할 수 있게 좀 이상한 함수들을 그릴 것입니다 음 이 함수를 보죠 여기서 이렇게 끊겼다가 올라가고 왼쪽에도 똑같이 그립니다 대칭해서 그리는 것이므로 여기서 똑같이 끊깁니다 그리고 이렇게 올라갑니다 오른쪽의 그래프의 거울상을 그리는 것입니다 이것은 우함수죠 함수의 오른쪽 부분을 보고 이를 y축에 대칭시키면 함수의 왼쪽 부분과 같습니다 그리고 f(x)가 f(-x)와 같은 것도 볼 수 있습니다 아무 값이나 잡아봅시다 음.. 이 지점을 3이라 해보죠 그리고 f(3)을 5라고 합시다 여기는 5입니다 그리고 f(-3)도 똑같이 5가 되는 것을 볼 수 있습니다 우함수의 정의에 잘 부합됩니다 조금만 더 확실하게 하기 위해 하나만 더 그려볼께요 음, 축은 똑같이 초록색으로 그릴께요 이런 함수를 그려봅시다 삼각함수와 비슷하게 생긴 함수로 해보죠 이렇게 생기고 이렇게 생겼습니다 그리고 양쪽으로 계속 그릴 수 있죠 그리고 이런 함수도 우함수일 것입니다 이런 것들이 모두 우함수입니다 이제 기함수가 무엇인지 얘기해봅시다 여러분을 위해 기함수를 하나 그려보겠습니다 축부터 그리고요 x축, 그리고 y축 음, 좀 유명한 기함수를 보여드리겠습니다 이건 아마 가장 유명한 우함수일 거에요 가장 유명한 기함수들은 여러 개가 있겠지만 저는 이것을 그리겠습니다 f(x) = x^3 아마 본 적 있는 그래프일 것입니다 만약 본 적이 없다면 몇몇 점들을 따라 그려보면 됩니다 이 함수는 이렇게 생겼습니다 기함수인 것을 시각적으로 확인할 수 있는 방법은 y축의 오른쪽에서 무슨 일이 일어나는지 보는 것입니다 여기 y축을 기준으로 오른쪽 부분이 있습니다 만약 이걸 y축 대칭 시키면 이렇게 나올 것입니다 그랬다면 y축 왼쪽에는 이렇게 나왔을 것이고 이 함수는 우함수가 됐겠죠 그런데 이 함수는 아닙니다 이 함수가 기함수가 되게 하려면 y축 대칭 시킨 것을 다시 x축에 대칭시킵니다 다르게 생각하면 y축 대칭을 시키고 부호를 바꾼 것이죠 어떤 방법이든 상관없습니다 아니면 x축에 대칭시킨 후 y축에 대칭시켜도 되죠 대칭을 두번 한다는 점이 중요합니다 보시다시피 이 부분을 x축 대칭시키면 함수의 왼쪽 부분이 나오네요 이번엔 한 점에 대해 해봅시다 기함수 정의를 쉽게 이해할 수 있게 하는거에요 이게 기함수의 정의가 될 것입니다 음... 2에 대해 생각해보죠 f(2)는 8이죠 2의 세제곱이 8이니까요 그럼 -2에 대해 생각해볼까요? f(-2)는 -8입니다 -2의 세제곱이 -8입니다 이를 일반적인 경우에 대해 생각해봅시다 이 함수에서 f(2)라는 특수한 경우에 대해 생각해보자면 f(2)는 f(-2)와 같지 않습니다 8은 -8과 다르죠 8은 -8의 부호를 바꾼 것과 같습니다 -8의 부호를 바꾸면 8이죠 그러므로 f(2)는 f(-2)의 부호를 바꾼 것과 같습니다 조금만 더 확실히 해봅시다 우리는 f(2)가 8이란 것을 알아냈습니다 2의 세제곱은 8이죠 그리고 f(-2)는 -8이란 것도 알아냈습니다 -2의 세제곱은 -8입니다 -8의 부호를 바꾸면 8이 됩니다 그러면 일반적으로 어떤 기함수가 있다고 합시다 정의를 내려봅시다 어떤 함수가 기함수일 필요충분조건은 모든 x에 대해 다음 조건이 성립합니다 f(x)는 -f(-x)와 같습니다 아니면 양변에 -1을 곱해서 -f(x)가 f(-x)와 같다고도 할 수 있습니다 어쩔 때는 양변을 바꿔서 f(-x)가 -f(x)와 같다고 할 때도 있습니다 잘못 썼네요, 다시 쓰겠습니다 -f(x)이죠 그냥 양변을 바꾼 것입니다 그러면 다른 기함수 몇 개를 더 그려보겠습니다 어떤 것들이 있을까요? 이번에도 보고 이해할 수 있게 그리겠습니다 y축 다시 그릴께요 그러니까 이렇게 생겼다고 해봅시다 오른쪽이 이렇게 생긴 함수죠 y축에 대칭시키면 우함수가 나옵니다 하지만 기함수가 나와야 하니 x축에 다시 한 번 대칭시키겠습니다 그러면 이 함수의 나머지 부분은 이렇게 생겼을 것입니다 제가 실선으로 그린 것이 바로 기함수인 것입니다 그러면 아무 a나 잡아보죠 그럼 여기는 f(a)가 되겠죠 그러면 이 a의 부호를 바꿔 -a에 대해 생각해봅시다 여기는 f(-a)가 되겠죠 f(-a)의 x축에서의 거리는 f(a)의 x축에서의 거리와 같습니다 제 그림에서는 그렇게 보이지는 않네요 그럼 여기가 f(-a)라고 합시다 여기 있는 f(-a)는 원점으로 부터의 거리가 f(a)와 같습니다 부호만 다르죠 제가 크기가 완전히 똑같게 그리진 않았습니다 기함수를 몇개 더 그려보죠 여러분이 이제 이해했을 것이라 믿습니다 이번에는 아주 간단한 기함수입니다 모든 기함수들이 특이하게 생기지 않았다는 것을 보여주고 싶거든요 y=x입니다 매우 간단하죠 다시 그리겠습니다 y=x는 원점을 지나요 이 함수의 오른쪽 부분을 y축 대칭시키고 그걸 다시 x축 대칭시키면 제 3사분면의 부분이 나옵니다 그러니까 이 함수는 기함수인거죠 이제 우함수나 기함수인 것처럼 생겼지만 우함수, 기함수는 아닌 함수들을 보여드리겠습니다 이렇게 생긴 포물선이 있을 수 있습니다 하지만 이 함수는 y축 대칭이 아니죠 여기 중앙에 대칭이긴 하지만 y축에 대칭이 아니므로 f(x)와 f(-x)가 같지 않습니다 이 함수는 우함수도 아니고 기함수도 아닙니다 이번에는 다른 경우를 봅시다 x^3 함수를 옮긴 함수죠 x^3 + 1이라고 해봅시다 f(x) = x^3 + 1 입니다 이 함수는 이렇게 생겼습니다 이 함수는 기함수인 것처럼 생겼을 수도 있습니다 하지만 위로 한 칸 올라갔으므로 기함수가 아닙니다 시각적으로도 확인할 수 있습니다 x^3 + 1 이 함수에서 오른쪽 부분을 y축 대칭시키고 이를 다시 x축 대칭시키면 이렇게 나오겠죠? 그러니까 이건 기함수가 아닙니다 두 번 대칭시킨 결과가 다르잖아요 y축, x축 대칭시킨 결과가 같아야 합니다 여기 있는 이 함수는 같습니다