복합부등식: 또는

z를 구해봅시다 5z+7은 27 보다 작다 또는 -3z는 18 보다 작거나 같다입니다 복합부등식입니다 두 가지 조건이 있네요 따라서 z는 이 식을 만족시킬 수도 있고 이 식을 만족시킬 수도 있습니다 먼저 이 두 부등식을 풀어 봅시다 z는 두 부등식 중 적어도 하나를 만족할 것입니다 시작해 봅시다 이 식부터 먼저 볼게요 5x + 7 은 27 보다 작다 좌변에 z 만 남겨두려면 좌변에 있는 7을 없애야 하므로 양변에서 7을 빼 줍니다 그러면 좌변은 5z + 7 - 7 이 됩니다 5z는 27 - 7보다 작다 즉, 5z는 20 보다 작다 가 됩니다 이제 양변을 각각 5로 나눠줄 수 있겠죠 이때, 부등호의 방향을 바꿀 필요 없습니다 양수로 나눴기 때문이죠 따라서 z는 20÷5 보다 작다가 됩니다 즉 z는 4 보다 작다는 식이 나오죠 조건 중 하나만 구했으니까 여기 다른 조건도 구해봅시다 -3x는 18보다 작거나 같다 z 만 남기기 위해서 부등식의 양변을 -3으로 나눌 수 있습니다 이때, 부등식의 양변을 음수로 나누거나 곱하게 되면 부등호의 방향을 뒤집어야 해요 따라서 -3z를 -3으로 나눠줍니다 그리고 18도 -3으로 나눠줍니다 이때 부등호의 방향을 뒤집어야 합니다 그래서 작거나 같다가 크거나 같다로 바뀌었습니다 -3끼리 소거되어 지워집니다 -3을 -3으로 나누면 1이 되기 때문입니다 따라서 z는 18/(-3), 즉 -6 보다 크거나 같다가 됩니다 이 문제에서 두 조건은 또는으로 연결되어 있습니다 첫 번째 조건은 이렇게 정리가 되고 두 번째 조건은 이렇게 정리가 됩니다 그래서 이 복합부등식의 해는 z는 4보다 작거나 z는 -6보다 크거나 같다입니다 더 깔끔하게 정리해서 다시 써보면 z는 4보다 작다 또는 -6보다 크거나 같다 입니다 z는 두 조건 중 하나만 만족시켜도 됩니다 이때 흥미로운 점을 발견할 수 있습니다 이 조건들을 수직선에 나타내봅시다 여기에 수직선을 그리고 0이 여기 있다고 합시다 1, 2, 3, 4를 여기에 그려주고 -6은, 1, 2, 3, 4, 5, 6. -6은 여기에 있겠네요 이제 z가 4보다 작은 경우를 생각해 봅시다 z는 4보다 작다 4에서 속이 빈 점을 그립니다 4를 포함하지 않기 때문에 비워주는 겁니다 z는 4보다 작은 모든 수에 해당됩니다 이제 z가 -6보다 크거나 같은 경우를 생각해봅시다 z가 -6을 포함한다는 걸 의미하죠 다른 색으로 쓸게요 -6을 포함시켜도 되는 것이므로 속을 채운 점을 그려줍니다 이건 -6을 포함한다는 의미입니다 다른 색으로 써볼게요 주황색으로 쓸게요 따라서 z는 -6보다 크거나 같으므로 z는 -6과 -6 보다 큰 값 모두에 해당됩니다 그보다 더 큰 값 4도 포함하겠죠 그보다 더 큰 값들도 포함합니다 결국 우리는 수직선 전부를 색칠하게 되었습니다 모든 수는 두 개의 조건 중 적어도 하나를 만족시키고 겹쳐지는 부분은 두 조건 모두를 만족시킵니다 이 범위 안의 수는 두 조건을 모두 만족시키고 겹쳐지는 부분 오른쪽에 존재하는 수는 이 조건을 만족시키게 되고 왼쪽에 존재하는 수는 이 조건을 만족시키게 되지요 다른 수도 대입해 볼 수 있습니다 0도 성립합니다 0 + 7은 7이고 이 값은 27보다 작죠 그리고 3 × 0은 18보다 작아요 따라서 두 조건을 모두 만족시킵니다 4를 대입해보면 한 개의 조건만 충족하게 됩니다 -3 × 4는 -12이고 이 값은 18보다 작죠 따라서 이 조건은 만족시키지만 다른 조건은 만족시키지 못 합니다 왜냐하면 5× 4에 7을 더하면 27이고 27은 27보다 작은 게 아니라 같기 때문입니다 여기서 기억해야 할 것은 '또는' 의 개념입니다 조건들 중 하나만 만족시켜도 충분하다는 것이죠 따라서 4는 조건을 만족시키므로 4도 성립합니다 따라서 수직선 위의 모든 수는 여기의 두 조건 중 적어도 하나를 반드시 만족한다는 것을 알 수 있습니다