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주요 내용

치환을 이용하여 인수분해하기

(x+7)²+2y²(x+7)+y⁴을 인수분해하기 위해 (U+V)²=U²+2UV+V²에서 U와 V에 무엇을 대입해야 하는지 알아봅시다.

동영상 대본

문제에서 주어진 식을 인수분해를 하라고 합니다 그리고 문제에선 식을 U와 V가 상수항이거나 하나의 변수라고 가정을 했을 때 U+V의 제곱의 형식으로 인수분해를 할 수 있다고 합니다 U와 V는 무엇인가요? 그 다음 식을 인수분해하라고 하네요 영상을 멈추고 풀어보세요 좋아요 첫 번째 부분부터 풀어봅시다 U+V의 제곱의 형태로 인수분해를 할 수 있다고 했습니다 이 식을 어떻게 U+V의 제곱의 형태로 표현을 할까요? 먼저 U+V의 제곱이 무엇인지부터 한번 복습해봅시다 U+V의 제곱은 이항식의 제곱이며 이 형태를 다른 수업에서 정말 자주 보았습니다 이는 U의 제곱 더하기 2 곱하기 이 두항의 합 따라서 2UV 더하기 V의 제곱이죠 이와 같은 공식을 처음 본다면 혹은 어떻게 나왔는지 잘 모르겠다면 이전 영상을 시청하고 오세요 이를 설명하는 영상을 시청하세요 하지만 이 패턴이 문제의 식에 적용이 되나요? 이 항을 U의 제곱으로 표현할 수 있나요? 만약 이 항이 U의 제곱이면 U는 x 더하기 7이며 조금 조심해서 설명을 해야겠네요 이 모든 항을 U의 제곱으로 표현할 수 있나요? U의 제곱이 x+7의 제곱이라면 U는 x+7이며 여기에 이 항이 V의 제곱이 되어야 합니다 만약 이 항이 V의 제곱이면 V는 y의 제곱입니다 y의 제곱의 제곱은 y의 4제곱이기 때문이죠 따라서 V는 y의 제곱입니다 문제에서 이미 이 식은 U+V의 제곱으로 인수분해를 할 수 있다고 했지만 실제로 가능한지 한번 봅시다 여기에 중간 항이 2 곱하기 U 곱하기 V와 같나요? 한번 봅시다 2 곱하기 U는 2곱하기 x 곱하기 7 곱하기 V인 y의 제곱입니다 동일한 항이 식에 존재하죠 2y 제곱 곱하기 x+7입니다 이렇게 복잡한 식이라도 이와 같은 패턴에 맞출 수 있습니다 따라서 이 식을 U+V의 제곱으로 표현할 수 있습니다 U는 x+7이며 V는 y의 제곱이죠 이를 이용하여 해당 식을 인수분해합시다 이 식을 U+V의 형태로 나타낼 수 있습니다 U와 V가 무엇인이 이미 알고 있습니다 따라서 이 전체 식은 U인 x+7 더 정확히 하기 위해서 괄호를 적겠습니다 더하기 V인 y의 제곱입니다 여기에 적은 식과 동일하죠 물론 이 괄호를 적지 않아도 됩니다 이를 x 더하기 7 더하기 y의 제곱의 제곱으로 적을 수 있습니다 다음 예제를 풀어봅시다 이 문제에도 주어진 식을 인수분해를 하고 해당 식은 U+V 곱하기 U-V의 형태로 나타낼 수 있다고 합니다 그리고 U와 V는 상수항 혹은 변수라고 합니다 영상을 멈추고 U와 V가 무엇인지 알아보세요 그리고 식을 인수분해해보세요 좋습니다 U+V 곱하기 U-V의 식이 무엇과 같은지 우선 복습해봅시다 해당 내용을 처음본다면 합차공식의 수업을 다시 시청하고 오시길 바랍니다 이 두 식을 전개하면 합차공식이 나옵니다 U제곱 빼기 V제곱이죠 이 식을 직접 곱해보면 중간 항이 중간 항이 혹은 중간의 항들이 서로 상쇄됩니다 따라서 남는 항은 U의 제곱 빼기 V의 제곱입니다 이 패턴과 일치하나요? 이 항이 U의 제곱이 되고 이 항이 V의 제곱이 되려면 U의 제곱은 4x의 제곱이라는 뜻이고 따라서 U는 해당 값의 제곱근인 2x가 됩니다 U의 제곱은 2x의 제곱인 4x의 제곱입니다 V의 값은 9y의 6제곱의 제곱근입니다 9의 제곱근 값은 3이죠 y의 제곱근 값은 y의 3제곱입니다 이를 이용해서 식을 인수분해 할 수 있습니다 왜냐하면 여기에 이 항은 U의 제곱 빼기 V의 제곱과 같기 때문입니다 따라서 이는 해당 식은 U 빼기 혹은 U + V 곱하기 U - V로 나타낼 수 있습니다 이는 어떤 값과 같을까요? U+V는 2x 더하기 3y의 3제곱과 같습니다 그리고 U-V는 U의 값인 2x 빼기 V의 값인 3y의 3제곱과 같습니다 좋습니다 식을 인수분해했습니다 여기에 적고 싶지만 위에 이미 적었기 때문에 문제를 이미 풀었네요