반지름, 지름, 원주, 파이

원은 가장 기본적인 도형입니다 행성의 궤도 모양이나 바퀴, 분자 구조만 봐도 원은 주변에서 정말 많이 볼 수 있습니다 그러므로 원의 성질을 이해하는 것은 중요합니다 사람들은 원을 처음 발견했을 때 원의 성질에 대해 궁금해했습니다 원은 중심에서부터 같은 거리에 있는 점들의 집합입니다 원 위에 있는 모든 점들은 모두 중심에서부터 같은 거리에 있어요 그렇다면 원 위의 점과 중심 사이의 거리는 무엇일까요? 그 거리를 원의 반지름(radius)이라고 합니다 중심에서 가장자리까지의 거리예요 만약 이 반지름이 3 ㎝라면 이 반지름도 3 ㎝이고 이 반지름도 3 ㎝입니다 반지름의 길이는 변하지 않아요 원은 중심에서부터 같은 거리에 있는 점의 집합이기 때문이죠 이 거리가 바로 반지름이에요 그렇다면 원 위의 두 점을 잇는 선분을 그렸을 때 가장 긴 선분은 무엇일까요? 원의 가장 넓은 곳을 자른다면 그 거리는 얼마일까요? 노란 선분 말고도 원 위의 두 점 사이의 거리가 가장 먼 곳을 자르면 됩니다 이렇게 자르면 가장 긴 거리가 되지 않겠죠? 원 위의 두 점 사이의 간격을 넓게 자를 수 있는 곳은 많아요 반지름을 알아보았고 중심을 지나는 가장 긴 선분도 알아보았습니다 그러므로 이 선분은 반지름 두 개와 같을 거예요 이것도 반지름이고 이 선분도 반지름입니다 원에 선분을 그렸을 때 가장 긴 선분이 지름입니다 그러므로 이 선분은 원의 지름(diameter)이 되겠네요 원의 지름과 반지름의 관계는 아주 쉽습니다 지름은 반지름의 2배예요 (지름) = 2 × (반지름) 원의 둘레는 무엇일까요? 원의 둘레를 재기 위해 줄자로 원을 둘렀을 때 그 길이는 무엇일까요? 이 길이는 원의 원주(circumference)라고 합니다 이제 원주와 지름 사이의 관계를 알아봅시다 지름이 익숙하지 않다면 반지름을 사용할 수도 있어요 몇천 년 전 사람들은 줄자로 원주와 반지름의 길이를 측정했어요 하지만 그 결과가 정확하지는 않았습니다 원의 원주를 쟀더니 약 3이 나왔고 지름은 약 1이 나왔습니다 그때 사람들은 원주와 지름 사이의 비율이 궁금했어요 어떤 사람이 원을 정확하지 않은 줄자를 이용해 둘레를 쟀더니 약 3 m이고 지름을 쟀더니 약 1 m였어요 이 원의 원주와 지름의 비율을 봤더니 원주는 지름의 3배였죠 그리고 다른 원의 원주와 지름도 측정했습니다 이 원의 원주는 약 6 ㎝였고 지름은 약 2 ㎝였습니다 그리고 이 원의 비율을 봤더니 역시 원주는 지름의 3배였습니다 그래서 원주와 지름의 비율이 어떤 원에서든지 같을 수도 있다고 생각했습니다 그리고 사람들은 좀 더 정확한 줄자를 만들어냈어요 이 줄자로 측정했더니 지름은 1이었지만 원주는 약 3.1이었어요 위의 작은 원의 비율도 약 3.1이었어요 사람들은 계속해서 더 정확하게 측정할 수 있었고 결국 3.14159라는 수를 얻었습니다 이 수는 소수점 아래의 숫자가 무한히 계속되면서 반복되지도 않았어요 삶 속에서 원은 중요했고 모든 원에서 이 비율을 찾을 수 있었어요 이렇게 원주와 지름의 비율은 정말 중요했기 때문에 사람들은 이 숫자에 파이(Pi)라는 이름을 붙였어요 또는 π라고 표기할 수도 있습니다 π는 이 수를 나타냅니다 π는 원주와 지름의 비율에서 구한 것이지만 수학을 공부하다 보면 π는 수학에서 전반적으로 사용된다는 것을 알 수 있어요 π를 수학에서 어떻게 사용할 수 있을까요? 원주와 지름의 비율은 π입니다 여기서 비율은 원주를 지름으로 나눈 거예요 π는 3.14159....입니다 이 수를 계속 이어서 쓸 수도 있지만 번거롭기 때문에 그냥 π로 써주는 거예요 이 식에서 양변에 지름을 곱하면 원주 = 지름 × π = πd 입니다 또는 지름은 반지름의 두 배이므로 원주 = π × 2 × r = 2πr으로 쓸 수도 있어요 문제를 풀면서 적용해 봅시다 어떤 원이 있다고 합시다 이 원의 반지름은 3 m입니다 이때 이 원의 원주는 얼마일까요? 원주는 2πr이므로 (2π × 3) m겠죠 2 × 3 = 6이므로 (6π) m입니다 π를 수로 바꿔서 곱해줄 수도 있어요 π = 3.14159...이므로 여기에 6을 곱하면 아마 18.xx...가 나올 거예요 계산기로 계산할 수도 있지만 간단하게 π로 표기할 수도 있어요 6 × 3.14159를 계산하면 18과 19 사이의 수가 나올 거예요 지금은 계산기가 없으니 그냥 6π라고 쓰면 됩니다 6π를 계산하면 19보다는 작은 수가 나올 거예요 한 문제 더 풀어 봅시다 원의 지름은 무엇일까요? 반지름이 3 m라면 지름은 그것의 2배입니다 그러므로 3 × 2 = 6 또는 3 + 3 = 6 그러므로 원주는 (6π) m이고 지름은 6 m 반지름은 3 m입니다 여기 다른 원이 있습니다 이 원의 원주는 10 m예요 원의 둘레를 알고 있을 때 지름은 어떻게 구할 수 있을까요? 원주는 지름과 π를 곱한 것이죠 그러므로 πd = 10 m입니다 이 식의 양변을 π로 나누면 d = (10/π) m가 될 거예요 따라서 지름은 (10/π) m입니다 계산기로 10을 3.14159로 나누면 3.xxx... m가 나왔을 거예요 하지만 π로 표기하는게 더 간단하니 그냥 둡시다 이제 반지름을 구해 볼까요? 반지름은 지름의 1/2이죠 지름은 (10/π) m입니다 반지름을 구하려면 지름에 1/2를 곱하면 됩니다 1/2 × 10/π을 계산하면 분모의 2와 분자 10이 약분되어서 5/π가 됩니다 따라서 반지름은 5/π입니다 중요한 것은 π가 3.14159...라는 수라는 거예요 π는 그냥 특별한 수예요 지금까지 수를 사용했던 것처럼 곱할 수도 있어요 하지만 그냥 π를 그대로 놔두는 것이 더 편할 거예요 다음 강의에서는 원의 넓이를 구하는 방법을 알아봅시다