p급수가 수렴하는 조건들의 증명

여기 p-급수의 일반형이 노란색으로 적혀 있습니다 그리고 이번 영상에서는 p가 어느 범위에 있을 때 이 p-급수가 수렴하는지 알아봅시다 p-급수의 정의에 따라 P는 0보다 커야 합니다 어떻게 p-급수가 수렴하는지 이해하기 위해서 그래프를 그려보았습니다 여기 그래프가 있습니다 이 곡선은 y=1/x^p의 그래프입니다 P가 0보다 크므로 이 그래프를 일반항으로 보고 있습니다 그래프가 감소 그래프인 것을 알 수 있습니다 똑같이 이 곡선도 y=1/x^p의 그래프입니다 곡선 아래와 x축 윗부분에 미리 색칠해 놓은 부분은 1부터 무한대까지의 1부터 무한대까지의 1/x^p의 이상적분에 해당합니다 두 그래프에 미리 색칠해 놓은 이 부분들입니다 희망적으로 봐야 할 것은 굉장히 긴밀한 수렴 혹은 발산 관계가 이 p-급수와 적분 사이에 있습니다 왜냐하면 왼쪽 그래프를 보면 이 p-급수가 그 부분의 위쪽 리만 합으로 나타내어지기 때문입니다 무슨 의미냐면 이 첫 번째 직사각형을 보세요 가로는 1이고 높이는 1/ 1^p입니다 그래서 이것은 이 p-급수의 첫째 항일 것입니다 넓이가 1일 것입니다 x와 y의 눈금이 같지 않습니다 이 직사각형의 넓이는 1/2^p일 것입니다 이 넓이는 1/3^p입니다 이 직사각형들의 넓이의 합은 p-급수입니다 그리고 각각의 직사각형들은 곡선 아랫부분보다 더 많이 차지하고 있습니다 그래서 곡선 아랫부분은 0보다 클 것입니다 이 p-급수는 이 적분과 곡선 아랫부분보다 클 것입니다 하지만 여기에 1을 더하면 하얀 부분뿐만 아니라 이 빨간 부분도 포함해야 합니다 그럼 p-급수가 더 작을 것입니다 왜냐하면 p-급수의 첫 항이 1이기 때문입니다 그리고 다른 모든 항은 곡선의 아래쪽 리만 근삿값 입니다 그것들은 곡선 아래에 맞고 공간을 비웠습니다 그래서 이 식보다 작을 것입니다 만약에 이것이 발산 즉 이 이상적분이 발산한다면 유한한 값으로 수렴하지 않습니다 p-급수는 더 크므로 이상적분이 발산한다면 p-급수도 발산합니다 비슷하게, 이 적분이 수렴한다면 이것은 유한한 값으로 갑니다 1을 더한 값도 수렴하고요 그래서 이 p-급수도 수렴하고 유한한 값으로 가게 됩니다 사실 지금까지 한 것은 그냥 적분 판정법을 길게 풀어 설명한 것입니다 적분 판정법을 개념적으로 확실히 이해하기 위해 다시 한번 짚고 넘어갔습니다 공식을 맹목적으로 적용하기만 하면 안 되니까요 다른 방법도 있습니다 p-급수가 수렴하면 적분도 수렴하고 p-급수가 발산하면 이 식도 당연히 발산하고 적분도 발산합니다 그럼 p-급수가 수렴한다는 것은 이 적분이 수렴할 필요충분조건입니다 그래서 어느 조건의 P 아래에서 p-급수가 수렴하는지 알면 어느 조건에서 이 적분이 수렴하는지로 볼 수 있습니다 내려가서 이 적분이 수렴하려면 어떤 조건이 필요한지 알아보겠습니다 다시 써보겠습니다 1에서 무한대까지의 적분 이상적분 1/x^p은 M이 무한대로 갈 때의 M이 무한대로 갈 때의 1부터 M까지 1부터 M까지 1/x 그냥 x의 -P제곱으로 쓰겠습니다 x의 -P제곱의 정적분 값과 같습니다 이 부분만 보겠습니다 극한 표시는 앞으로 계속 생략할 것이니 잊어버리지 마세요 잊어버리지 마세요 이것이 무엇인지 봅시다 여러 조건이 있습니다 P가 0보다 큰 것은 알고 여기에는 두 가지 상황이 있습니다 첫 번째는 P가 1과 같을 때 만약 P가 1이면 그럼 이것은 1/x의 적분입니다 그래서 이 식은 적분 ln X 1에서 M까지 그래서 이 식은 자연로그 M 빼기 자연로그 1 E의 0제곱은 1이므로 쓰면 자연로그 1 하지만 자연로그 1은 0입니다 이 특별한 상황, P=1일 때 1부터 M까지의 정적분은 자연로그 M 이라고 쓸 수 있습니다 이제 다른 상황을 봅시다 P가 1이 아닐 때는 기본 미분 때 배운 멱함수의 미분법을 뒤집는다고 생각하면 됩니다 P에 1을 더하면 x의 -P+1제곱 그리고 이것은 x의 1-P 제곱과 같습니다 그리고 이것을 1-P로 나누겠습니다 1부터 M까지로 잡으면 이 식은 M의 1-P제곱 나누기 1-p 빼기 1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다 1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다 1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다 이제 극한을 취해 봅시다 이곳에 역도함수나 정적분을 취하지 않는 것을 기억해 보세요 하지만 여기에 M이 무한대로 갈 때 넣겠습니다 그럼 M이 무한대로 갈 때 자연로그 M은 무엇인가요? 만약 M이 무한대로 발산하면 자연로그 값은 그대로 무한대로 갈 것입니다 그래서 P가 1이면 이 식은 수렴하지 않습니다 이 식은 발산합니다 P가 1이면 발산합니다 이제 알았고요 이제 이 식을 보면 이제 이 식을 보면 M이 무한대로 갈 때 이 식을 넣겠습니다 극한의 영향을 받는 부분은 M을 가진 부분입니다 그래서 이 식에서 1-P를 밖으로 빼면 1/1-P 곱하기 M이 무한대로 갈 때 M의 1-P제곱 분리하여서 1의 1-P는 항상 1이므로 빼기 1/1-P가 나옵니다 맞나요? 이곳에 어느 수를 넣든지 상관없이 1의 아무 제곱은 다 1이 됩니다 이것이 수렴하는지에 관한 흥미로운 것은 이 부분입니다 모든 것은 이 식이 양수인지 음수인지에 달려있습니다 만약에 1-P가 0보다 크면 이 식들을 양수로 두면 이 식들을 양수로 두면 이것은 발산합니다 그래서 이 상황에서는 발산합니다 그리고 1-P가 0보다 크면 P를 양변에 더하면 1이 P보다 크거나 P가 1보다 작은 것이 됩니다 그래서 발산하게 됩니다 P가 0보다 큰 것을 알았고 P가 1일 때, P가 1보다 작을 때 발산하는 것을 알았습니다 하지만 만약에 이 식이 음수이면 1-P가 0보다 작으면 생각해보면 이 식은 1/M의 양수 제곱이 될 것입니다 그럼 M이 무한대로 가면 이 모든 것은 0에 근접하게 됩니다 이것은 수렴하고 유한의 값을 가지는 상황이 됩니다 그래서 P를 양변에 더하면 1이 P보다 작으면 수렴합니다 찾아내었습니다 이 적분은 오직 P가 1보다 클 때 수렴합니다 P>1이면, 수렴한다 만약에 0＜P≤1이면 발산하게 됩니다 p-급수가 수렴하면 적분도 수렴하기 때문에 이것들은 정확합니다 그래서 이 제약들은 p-급수에 적용됩니다 본래의 p-급수는 오직 P가 1보다 클 때 수렴하고 0＜P≤1이면 발산합니다