엄밀한 정의를 사용해 급수가 수렴함을 증명하기

지난 번 영상에서 다뤘던 이 수열은 여기 적힌 것 처럼 정의할 수 있었죠 {(-1)^(n+1)}/n이라는 형태로 이 수열을 나타낼 수 있고 n이 무한대로 갈 때 이 수열의 극한값은 0이라고 했었습니다 맞는 이야기죠 분모 n은 계속 커지는데 분자는 -1에서 1 사이를 왔다갔다 하니까 수열 자체는 점점 작아질 겁니다 증명은 하지 않았었고 하고 싶지는 않지만 증명을 하려면 "0보다 큰 모든 입실론(ε)에 대해 M>0일 때 n>M이면 이 수열의 n번째 항과 극한값, 즉 0 사이의 거리는 ε보다 작다"라는 필요충분 조건이 필요합니다 무슨 뜻일까요? 지금 이 수열의 극한값이 0이죠 극한값이 0이고요 극한값이 0이니까 이 수열은 0으로 수렴합니다 0보다 조금 큰 ε이 있다고 가정합시다 여기 쯤이 0+ε이 되겠죠 그려놓고 보니 ε이 0.5정도 돼 보이네요 여기가 0-ε입니다 좀 더 깔끔하게 그려볼게요 여기가 0-ε입니다 각각 0-ε, 0+ε입니다 지금은 극한값이 0이죠 이제 모든 ε에 대해서 n보다 작은 M을 찾을 건데, 이 때 이 수열과 그 극한값의 거리는 ε보다 작아야 합니다 수열과 극한값 간의 거리가 ε보다 작다는 뜻은 n이 어떤 값이든 간에 수열의 절댓값이 ε보다 작다는 거겠죠 이 색칠 된 영역 안에 존재해야 합니다 n이 어떤 값이든 말이죠 n을 여기 쯤으로 잡았다면 그 다음 항들도 이 영역 안에 포함되는 걸 알 수 있습니다 이걸 어떻게 증명할까요? 일단, 어떻게 해야 이 부분이 참이 되는지 생각해봅시다 어떻게 해야 (a_n)-0의 절댓값이 ε보다 작아질까요? 다른 식으로 표현하면 |(a_n)|<ε이죠 a_n은 여기 이 수열이니까 또 다르게 표현하면 {(-1)^(n+1)}/n의 절댓값이 ε보다 작아야 합니다 분자인 (-1)^(n+1)때문에 전체 값 자체는 1/n과 -(1/n)로 왔다갔다 할겁니다 하지만 절댓값을 취하면 항상 양수가 되겠죠 따라서 좌변은 1/n과 같고 |1/n|<ε이어야 합니다 n은 항상 양수입니다 1부터 무한대까지 가능하죠 따라서 항상 |1/n|>0입니다 그러니 1/n<ε이어야 |a_n-0|<ε이 참이 된다고도 볼 수 있습니다 이제 양 변에 역수를 취합니다 부등식에서 역수를 취하면 부등호 방향도 바뀌어야죠 따라서 n>1/ε이 됩니다 이건 이미 증명됐죠 어떤 수열이 있고 아무 ε이나 주어진다면 M=1/ε이 되는 M을 정할겁니다 n>M이면 n>1/ε이니까 |a_n-0|<ε이 참이 되겠죠 따라서 극한값이 존재하게 됩니다 그래프를 다시 보면 이 경우엔 ε이 1/2쯤 돼보이네요 n>1/(1/2), 즉 n>2일 때를 볼까요 ε으로 1/2이 주어졌고 M=1/ε이라고 정했습니다 0보다 큰 모든 ε에 대해 성립하죠 1/(1/2)는 여기 쯤이네요 M을 여기에 표시합니다 이제 확인할 수 있네요 n>2일 때, 이 수열은 색칠된 영역에 포함됩니다 n=3일 때도 영역 안에 있고 n=4여도 영역 안이고 n=5일 때 등등 마찬가집니다 그냥 그렇겠거니 하는게 아닙니다 이쪽에 이미 증명했죠 근거 있는 이야기입니다 어떤 ε이 주어져도 M=1/ε이고 n>M이면 |a_n-0|<ε은 참입니다 이 수열이 그에 해당하죠 이 수열은 0으로 수렴합니다