무한등비급수를 극한으로 표현하는 것의 증명

이전의 영상에서는 a가 초항이고 r이 공비인 등비급수의 무한한 합을 구하는 공식에 대해 배웠습니다 제가 지금 이 비디오를 통해서 하려고 하는 것은 무한등비급수의 합을 어떻게 구할지 생각해보는 것입니다 저는 언제나 이 것을 구할때 신이 났는데, 정확하게 말하면 아주 신났는데 이 이유는 무한한 것의 합을 구하기 때문입니다 그러나 여러분이 보시는 것처럼 무한한 값은 우리의 공비가 무엇이냐에 따라 바뀌게 됩니다 이 문제를 해결하기 위해 여러 방법들이 있습니다 하나의 방법은 무한등비급수의 합이 n이 무한으로 다가갈 때의 극한이라고 생각하는것입니다 그래서 우리는 n이 무한으로 나아가며 이 때의 k=0이면서 a×r²의 식을 가지는 극한값이라고 할 수 있습니다 그래서 여기에 있는 n이 무한으로 다가갈 때의 극한값이라고 생각해도 됩니다 그래서 이 문제에서는 n이 무한으로 나아갈 때의 극한값과 같게 되는 것입니다 이 부분은 저는 복사해서 여기에 붙여서 색깔을 바꾸는 등이 번거로움을 피하겠습니다 그래서 복사하고 붙여보겠습니다 여기에서 n이 무한으로 나아갈 때의 극한값이 얼마가 됩니까? 이 문제를 조금 생각해보도록 합시다 저는 여러분이 이 비디오를 잠시 멈추고 제가 힌트를 하나 드리겠습니다 r이 1보다 큰 숫자인 경우와 r이 1과 가튼 숫자인 경우, 제가 이 것을 조금 더 정확히 설명해보겠습니다 r의 절댓값이 1보다 큰 경우 r의 절댓값이 1인 경우 그리고 r의 절댓값이 1보다 작은 경우로 생각해봅시다 저는 여러분이 한 번 시도해봤을 것이라고 믿습니다 그래서 r의 절댓값이 1보다 크다고 하면 이 제곱부분은 무한으로 커져서 터져버릴 것입니다 이 수는 너무 커져버릴 것입니다 정말 커질 것입니다 그래서 모든 것은 이처럼 될 것입니다 아니면 적어도 이 모든 것의 절댓값이 아주 아주 커다란 수로 갈 것이라고 생각할 수 있습니다 만약 r이 1과 같더라면 분모는 0과 같게 될 것입니다 우리는 이 분모를 가지고 나누게 될 것이고 이 식은 성립하지 않게 될 것입니다 그러나 이 식이 정말로 도움이 되고 우리가 말이 되는 값을 가지게 할 때의 r의 값은 0과 1 사이가 됩니다 우리가 이미 이야기를 한 내용이고 우리는 등비급수, r이 0과 같을 때의 등비급수에 대해서는 다루지 않았습니다 그렇다면 r의 절댓값이 0보다 클 때보다 경우와 1보다 작을 때의 경우를생각해봅시다 이 경우에는 어떤 일이 일어나게 될까요? 여기에서 보이는 것처럼 분모는 성립하게 됩니다 그러면 여기에서는 무슨 일이 일어나게 될까요? 여러분은 1보다 작은 임의의 절댓값을 가지고 있고 그리고 이 것을 매번 곱할 때마다 더 높은 차수로 만들어 나가게 될 것입니다 그리고 여러분은 작은 절댓값을 가지게 될 것입니다 그래서 여기에 있는 이 식 전체는 n이 무한대로 가면서 0에 가까워지게 될 것입니다 r이 1/2라고 생각해봅시다 1/2가 100제곱이 되었다고 가정을 해보면 1000제곱이 되었다고, 100만제곱이 되었다고 10억제곱이 되었다고 가정을 해봅시다 이 것은 빠르게 0에 다가갈 것입니다 만약 이 것이 0으로 가게 된다면 r의 절댓값은 1보다 작아지게 될 것입니다 그래서 우리는 a/1-r이 된다고 할 수 있습니다 예를 들어, 제가 등비급수를 가지고 있는데 무한등비급수라고 한다면-- 간단한 걸로 해봅시다 저의 초항이 1이라고 하고 연속하는 각각의 항에 1/3을 곱한다고 가정해봅시다 그래서 1+1/3+1/3의 제곱+1/3의 세제곱 저는 이 것을 평생동안 하고 있어야 합니다 이 것은 합이, 무한한 합이-- 저는 이 항의 무한한 수를 여기에 가지고 있으며-- 그리고 여기에 있는 아름답고 멋진 이 부분은-- 여기에서 파생되어 나온 것입니다 이 것은 저의 초항이 될 것입니다 1-공비인 1/3 분의 1이 될 것입니다 저의 공비는 이 문제에서는 1/3이 됩니다 1-1/3은 2/3과 같게 되고 3/2는 여러분이 1과 1/2라고 보셔도 됩니다 이 것은 조심스럽게 엄청난 것입니다