유한등비급수 공식

기하급수에 대해서 배워봅시다 우리는 기하급수에 대해서 몇 가지 사실을 알고 있습니다 예를 들어서 우리는 이 기하급수의 초항이 a라는 것을 알고 있습니다 이것이 첫 번째 항입니다 그리고 이 기하급수의 공비도 알고 있습니다 이것을 r이라고 합시다 r이 공비가 되는 것입니다 그리고 이 기하급수가 유한하다는 것도 알고 있습니다 유한한 항들을 가지고 있다는 말입니다 n을 항의 개수라고 합시다 그리고 처음 n개의 항의 합을 Sn이라고 합시다 n개의 항까지요 이 동영상의 목적은 이 정보들을 이용해 처음 n개의 항의 합들의 일반항을 찾아내는 것입니다 기하급수를 계산하는 공식을 말입니다 Sn을 적어봅시다 어떻게 생겼을지 생각을 해보세요 Sn은 다음과 같습니다 첫 번째 항인 a를 넣어준 다음 두 번째 항은 무엇일까요? 기하급수이기 때문에 두 번째 항은 공비를 곱한 값이 될 것입니다 그래서 첫 번째 항에 공비를 곱한 값이 될 것입니다 첫 번째 항 곱하기 r 자 이제 세 번째 항은 무엇일까요? 두 번째 항에다가 다시 공비를 곱한 값이 될 것입니다 ar×r 혹은 ar^2이 될 것입니다 이대로 n번째 항까지 가봅시다 이 방법을 적용하여 n번째 항까지 간다면 n번째 항은 a 곱하기 r의 n 제곱이 될 거라고 생각할 수도 있습니다 하지만 여기서 조심해야 합니다 잘 살펴보면 첫 번째 항은 사실 a 곱하기 r의 0제곱이고 두 번째 항은 a 곱하기 r의 1제곱 세 번째 항은 a 곱하기 r의 2제곱입니다 따라서 어느 항이든지 지수는 항의 번호-1이라는 것입니다 따라서 이 n번째 항에서는 a 곱하기 r의 n-1 제곱이라는 것을 알 수 있습니다 이것을 계산하기 위한 간편하고 깔끔한 공식을 구하기 위해 이 식에 약간의 아이디어를 사용할 것입니다 이를 위해 잠시 합에 r을 곱하는 것을 생각해봅시다 이 값을 빼줄 겁니다 합에다가 r을 곱해주면 n번째 항까지의 합에다 r을 곱해줍니다 그냥 -r을 곱해줍시다 두 식을 더할 수 있게 해주면 깔끔하게 정리가 되는 것을 알 수 있습니다 그래서 완성된 식은 무엇일까요? 어떻게 완성이 되느냐면 -r을 곱해준다면 -ar을 얻을 수 있습니다 이 항을 이 밑에다 쓸게요 이 항에다 -r을 곱해줍시다 그냥 모든 항에다가 -r을 곱해줍시다 그러면 합에다가 -r을 곱하는 것과 동치가 됩니다 -r을 항들에 분배하는 것입니다 이 항에다가 곱을 해주면 a 곱하기 -r이 되고 -ar이 됩니다 그다음에 ar에 -r을 곱하면 -ar^2이 됩니다 무슨 일이 벌어지는지 눈치채셨을 수도 있습니다 잠시 명확히 하고 넘어가자면 이 항은 첫 번째 항에 -r을 곱한 것입니다 이 항은 두 번째 항에 -r을 곱한 것입니다 그리고 이 방법을 계속해서 마지막 항 이전의 항에 -r을 곱합니다 마지막에서 두 번째 항에 -r을 곱하면 빼기 기호로 잠시 고치고 -a 곱하기 r의 n-1 제곱이 될 것입니다 이 항은 마지막 항 바로 전에 있던 항입니다 이 항은 a×r^(n-2)×(-r)이었기에 이 결과가 나오게 되었습니다 그래서 결과가 이렇게 나오고 드디어 마지막 항을 가지고 -r을 곱하면 어떻게 되나요? 결과는 -a 곱하기 r^n입니다 이 항에 -r을 곱해주면 a는 -a가 되고 r을 n-1 번 곱한 값은 결과적으로 r의 n 제곱이 될 것입니다 이제 여기서 흥미로운 점은 식의 좌변과 우변을 더할 수 있다는 점이죠 한 번 해봅시다 좌변을 더해주면 Sn-rSn이 결과로 나오고 우변에서는 여기서 멋있는 일이 벌어집니다 a는 소거되지 않습니다 a 이외의 항 중에서 마지막 항을 제외한 나머지 것들은 모두 소거됩니다 이 둘이 소거되고 이 둘이 소거됩니다 이제 남은 것은 -ar^n입니다 다시 말해서 -a 곱하기 r의 n 제곱입니다 이제 우리는 목표했던 Sn을 구할 수 있는 공식을 구했습니다 먼저 좌변의 식을 Sn에 대해서 정리합시다 n 항의 합인 Sn을 가지고 Sn에 대해 묶으면 Sn 곱하기 1-r이 됩니다 우변은 a에 대해서 묶을 수 있습니다 이는 a 곱하기 1-r^n이 될 것입니다 처음 n 항의 합인 Sn을 나타내기 위해 이제 클라이맥스에 다다랐습니다 Sn은 우변을 1-r로 나눈 것과 같습니다 결과적으로 a 곱하기 1-r^n 나누기 1-r이 될 것입니다 이제 끝났습니다 이제 기하급수의 유한합에 대한 공식을 구했습니다 다음 동영상에서는 이제 이 공식이 굉장히 중요하게 사용되고 어떻게 유도가 되는지 알았기 때문에 공식을 이용해 항들을 계산하는 방법에 대해 자세히 알려줄 것입니다 때로는 0에서 어떤 숫자까지 시그마 합에 대해서 계산을 해야 할 때가 있을 겁니다 이 경우에는 n+1개의 항을 가지게 되겠죠 따라서 굉장히 주의해서 풀어야 합니다 이 n은 항의 개수입니다 이 a는 위에서 정의한 대로 초항입니다 N은 처음 n항에 대한 항들의 개수를 의미하고 r은 공비를 나타냅니다