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실제 예제: 수열의 수렴/발산

동영상 대본

그래서 우리는 이 네개의 다른 수열들을 명확히 정의했습니다 그래서 우리는 이 네개의 다른 수열들을 명확히 정의했습니다 이제 이걸 생각해봅시다 이 수열들이 수렴할까요 발산할까요 기억하세요 수렴의 뜻은 n이 점점 커질수록 수열의 값이 어떠한 값에 가까이 가는 것입니다 그리고 발산의 뜻은 어떠한 값으로 가까이 가지 않는 것입니다 이걸 살펴봅시다 그리고 이 영상을 멈춘 뒤에 스스로 시도해 보는 것을 권장합니다 이 첫번째 수열을 살펴봅시다 분자는 (n+8)×(n+1)이고 분모는 n×(n-10)입니다 n이 커짐에 따라 분모와 분자의 차수가 어떻게 되는지 살펴봅시다 우리는 이 차수에 관심을 가져야 합니다 분자가 분모보다 빨리 커지는가요? 이 경우에는 무한대로가서 발산하게 됩니다 혹은 분모가 더 빨리 커지면 0으로 수렴합니다 아니면 분자와 분모가 같은 속도로 증가하는데요 그러면 다른 수로 수렴하게 됩니다 그러면 분자와 분모를 각각 곱해봅시다 해봅시다 n×n은 n² n×1은 1n 8n을 더하면 9n 8×1은 8 그래서 분자는 n² + 9n +8입니다 분모는 n² - 10n 우리가 생각해야 하는 것은 n입니다 이것은 매우 매우 커질것입니다 그래서 분자를 지배할 것인데요 이 n제곱이 가장 큰 값을 가질 것입니다 이 항이 가장 클 뿐만 아니라 모든 항을 대표할 것입니다 이 항이 가장 클 뿐만 아니라 모든 항을 대표할 것입니다 다른 항들은 커지지 않습니다 분명히, 이 8은 더 커지지 않습니다 n항은 n² 항보다 특히 n이 커질수록 더 빠른속도로 커지지 않습니다 그래서 매우매우 큰 n일수록 n² /n²에 근접하여 1이 될 수 있습니다 그래서 이 수열이 수렴한다는 것은 타당합니다 그래서 이 수열은 수렴합니다 나는 여기서 이것을 수학적으로 엄밀하고 엄격하게 증명할 수는 없습니다 하지만 진실은 우리가 분자와 분모에서 같은 차수를 가진다는 것입니다 2번째 식을 살펴봅시다 여기서 분자는 eⁿ 분모에는 e×n이 있습니다 그래서 이것이 더 빨리 증가합니다 내 말은, eⁿ이 더 빨리 증가한다는 것입니다 n이 100이라고 생각해 봅시다 e의 100제곱은 어마어마하게 큰 수입니다 하지만 e×100은 단지 100e입니다 eⁿ이 훨씬 더 빨리 증가합니다 그래서 이것이 더 많이 커집니다 이것은 무한대까지 갈 것입니다 그래서 우리는 이걸 발산한다고 합니다 그래서 우리는 이걸 발산한다고 합니다 그럼 세번째 식을 봅시다 더 높은 차수 항이 있네요 분모의 차수가 분자의 차수보다 큽니다 분모의 차수가 분자의 차수보다 큽니다 n²은 명백히 n보다 더 빠른 속도로 증가할 것입니다 그래서 bn 수열과 같은 이유로 이 수열도 발산합니다 분모가 분자보다 더 빨리 커집니다 분모가 분자보다 더 빨리 커집니다 혹은 다르게 생각하면 n이 무한대로 갈때 무한대 값이 되기 때문입니다 이 것이 무한대가 될 것입니다 이제 마지막 수열을 봅시다 n이 증가할수록 우리는 이 수열이 어떻게 생겼는지를 봐야합니다 n이 0일때, -1의 0제곱은 1입니다 n이 1일때, 이 수열은 -1이 됩니다 n이 2일때, 이 수열은 1이 됩니다 그리고 이것은 계속해서 -1과 1사이를 진동합니다 그래서 이것은 무한이 아닙니다 이것은 무한대나 음의 무한대로 가지 않습니다 하지만 이것은 두 값 사이를 진동합니다 그래서 이것은 특정한 값으로 수렴하지 않습니다 그래서 이 것이 무한이 아니더라도 무한대로 가지 않아도 여전히 발산합니다 이 수열은 하나의 값을 가지지 않습니다 그럼 적어 봅시다 이 수열은 발산합니다 커넥트 번역 봉사단 | 구재건