수열의 수렴과 발산

여기 수열 하나가 있습니다 이 수열은 1로 시작하고 다음은 -1/2 다음은 +1/3 다음은 -1/4 다음은 +1/5로 갑니다 이런식으로 계속 반복됩니다 이 수열을 그래프로 그릴 수 있습니다 수직축을 그리겠습니다 자 이것이 그래프의 y축 입니다 이제 n에 대한 y의 그래프를 그리겠습니다 다음으로 수평축을 그리겠습니다 이 수평축은 n을 나타냅니다 여기 n이 있고 + 1이 여기 있고 여기에 -1이 있습니다 이것은 -1/2이고 이것은 +1/2 입니다 좀 더 알아보기 쉽게 하기 위해서 수직축과 수평축을 동일한 간격으로 그리지 않겠습니다 수직축과 수평축을 동일한 간격으로 그리지 않겠습니다 여기에 1 2 3 4 5... 가 있습니다 여기에 1, 2, 3, 4, 5... 가 있습니다 n=1일 때 An = 1 입니다 An = 1 입니다 n=1일 때 An=1입니다 따라서 y=An입니다 n=2일때 An=-1/2 입니다 An=-1/2 입니다 n=3일때 An=1/3 입니다 여기쯤에 있습니다 n=4일때 An=-1/4입니다 여기쯤에 있습니다 n=5일때 An=1/5입니다 여기쯤에 있습니다 이것이 계속 반복됩니다 점들을 관찰해봅시다 점들은 띄엄띄엄 있지만 점점 0에 수렴하는 것을 관찰할 수 있습니다 점점 0에 수렴하는 것을 관찰할 수 있습니다 자연스럽게 이런 질문을 해 볼 수 있습니다 만약 n이 무한대로 가면 어떻게 되는가? 다른 식으로 얘기해 보면 n이 무한대로 갈때 An의 극한은 무엇일까요? n이 무한대로 갈때 An의 극한은 무엇일까요? An이 양수에서만 정의된다고 해봅시다 An이 양수에서만 정의된다고 해봅시다 An은 n=1에서 n이 무한대까지 정의되고 An은 n=1에서 n이 무한대까지 정의되고 이제 An을 구해봅시다 잠시 부호를 무시해봅시다 그럼 1/n꼴이 됩니다 그렇지만 부호가 진동하는 것을 관찰할 수 있습니다 수열은 양수로 시작해서 다음은 음수 양수 음수가 됩니다 이제 -1의 거듭제곱을 곱해봅시다 만약 (-1)ⁿ을 곱하면 첫항은 음수 두번째 항은 양수가 됩니다 이것은 우리가 원하는 것이 아닙니다 첫항이 음수가 되어야 합니다 따라서 (-1)^(n+1)이 곱해져야 합니다 이것이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다 n=1일때 1×(-1)²이고 이것은 1이고 이것은 나머지에게 모두 알맞게 적용됩니다 따라서 (-1)^(n+1)/n이라고 할 수 있습니다 따라서 (-1)^(n+1)/n이라고 할 수 있습니다 따라서 n이 무한대로 갈때 An의 극한은 따라서 n이 무한대로 갈때 An의 극한은 n이 무한대로 갈때 (-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다 n이 무한대로 갈때 (-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다 n이 무한대로 갈때 (-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다 An은 n에 관한 함수라는 것을 기억해보세요 이 것은 정의역이 양의 정수로 한정된 함수입니다 이 것은 정의역이 양의 정수로 한정된 함수입니다 이 것은 그저 무한대로 가는 극한입니다 이 것은 그저 무한대로 가는 극한입니다 아직 엄밀히 정의하지는 않았지만 이것을 구체화시킬 수 있을 것입니다 n이 무한대로 갈 때 분자는 1과 -1 사이에서 진동합니다 n이 무한대로 갈 때 분자는 1과 -1 사이에서 진동합니다 하지만 분모는 계속 커집니다 하지만 분모는 계속 커집니다 따라서 매우 작은 수가 되겠죠 따라서 매우 작은 수가 되겠죠 따라서 이것은 0에 가까워질 것입니다 아직 이것을 증명하지는 않았지만 이것이 맞다고 합시다 만약 이것이 맞다면 즉 n이 무한대로 갈 때 An이 0에 도달한다면 An이 0으로 수렴한다고 합니다 이렇게 이 식을 표현할 수 있습니다 만약에 그렇지 않고 n이 무한대로 갈때 극한이 어떠한 값으로 수렴하지 않는다면 아직 어떻게 극한을 정의하는지 엄밀하게 설명하지 않았지만 만약 극한값이 존재 하지않는다면 그 값이 0이 아니더라도 극한이 어떠한 값으로 수렴하지 않는다면 An이 발산한다고 표현합니다 커넥트 번역 봉사단 | 곽준희