멱급수의 미분

f(x)는 다음 급수와 같습니다 그리고 f의 삼계도함수가 x = 0일 경우의 값을 구해야 합니다 언제나 그랬듯 영상을 멈추고 같이 풀기 전에 혼자서 풀어보세요 이 문제를 푸는 두 가지 방법이 있습니다 한 가지 방법은 해당 식에 시그마가 씌워져있을 때 도함수를 구합니다 또 다른 방법은 f(x)를 전개하고 삼계도함수를 구한 뒤 답이 나오는지 봅시다 첫 번째로 두 번째 방법을 사용합시다 먼저 전개해 봅시다 f(x)의 값은 n이 0과 같을 경우 이는 -1의 0제곱이며 1이고 곱하기 x^0+3인 x^3 나누기 2곱하기0 (0+1)! 따라서 이는 나누기 1입니다 그리고 다음 항은 n이 1일 경우 이 값은 -1^1인 -1이 앞에 붙습니다 음수가 되며 2x1+3은 5이기 때문에 x^5 나누기 (2x1+1)! 2+1 = 3이기 때문에 3!입니다 따라서 이는 x^5/6입니다 그리고 x = 2인 경우 다시 양수가 됩니다 그리고 이는 x^7 나누기 5!입니다 맞나요? 맞습니다 5! 이를 그냥 5!로 적겠습니다 5!은 120입니다 이는 5x4x6인 120입니다 계속해서 적습니다 -+.. 이렇게 계속 반복되죠 이제 도함수를 구해봅시다 f'(x)는 멱의 법칙을 적용합니다 이는 3x^2 빼기 5/6x^4 더하기 7/5!x^6 멱의 법칙을 적용하고 있습니다 -+, 이렇게 계속 반복되죠 이계도함수는 멱의 법칙을 다시 적용합니다 6x - 4 x 5 나누기 6 (20/6x)^3 더하기 6x7 42/5! (42/5!x)^5 이렇게 계속 반복됩니다 -+, 이렇게 더하기와 빼기가 교차하여 반복됩니다 어떤 값 더하기 빼기 이렇게 반복되죠 이제 삼계도함수를 구해봅시다 삼계도함수는 6x의 도함수는 6이고 -20x3은 60/6이고 x^2 더하기 5x42 210/5! 곱하기 x^4 - + 이렇게 계속 반복됩니다 이 값이 x=0인 경우를 구합니다 f'''(0) x = 0인 경우 x가 들어간 항들은 모두 0이 됩니다 6만 남게되죠 따라서 f'''의 x=0일 때의 값은 6입니다 이를 푸는 다른 방법은 시그마를 그대로 두는 것입니다 f'(x)는 무한대의 합이며 한번 적어볼게요 이는 f'(x)가 전개된 것이고 f'(x)는 n이 0부터 무한대까지 모든 수의 합이며 여기서 도함수를 구합니다 x에 대한 도함수를 구한 다음에 목적에 따르면 다른 나머지 값은 n은 n은 각 항에 대해서 말해줍니다 x에 대한 도함수는 멱의 법칙을 사용하면 2n + 3를 앞으로 빼면 따라서 -1^n 곱하기 (2n+3)^x (2n+3)^x^2n+2 (2n+3)^x^2n+2/(2n+1)! 그리고 이계도함수를 구하면 이와 같습니다 이계도함수 f''(x)를 구하면 0부터 무한대까지의 -1^n의 합을 구합니다 여기에 공간이 있으니 여기에 적어봅시다 먼저 지수를 앞으로 빼고 2n+3 곱하기 (2n+2) 전체 나누기 (2n+1)! 곱하기x^2n+1 제가 여기서 하는 것은 복잡해 보이지만 지수를 앞으로 빼내고 앞에서 곱해주며 값을 줄입니다 2n+2-1은 2n+1이죠 이제 삼계또함수를 구하려면 삼계도함수는 n=0부터 무한대일 경우의 합입니다 -1^n 이를 꺼내서 곱하고 2n+3 곱하기 2n+2 곱하기 2n+1 전체 나누기 (n+1)! 곱하기 x^2제곱입니다 이제 x=0일 경우의 값을 구해봅시다 f'''(0)은 n이 0부터 무한대까지의 -1^n의 합을 뜻합니다 흥미롭네요 이 모든 식의 (2n+3)(2n+2) (2n+3)(2n+2)(2n+1) 나누기 (2n+1)! 곱하기 0^2n입니다 그렇게 된다면 0의 어떤 제곱은 0입니다 하지만 n=0에서 시작하기 때문에 0이 아닌 n은 0의 제곱은 0이며 이 항은 없어집니다 식을 여기서 전개했을 때처럼 말이죠 따라서 여기서 중요한 항은 n = 0일 경우입니다 따라서 이 값은 n = 1, 2, 3, 4, 5 무한대까지 갈 경우 이 값의 영향이 큽니다 이 값은 0이 됩니다 이는 0으로 만듭니다 이는 n=0일 경우 첫 번째 항으로 줄어듭니다 n = 0일 경우 -1^0입니다 따라서 이는 1입니다 따라서 1로 적습니다 곱하기 3 x 2 x 1 나누기 1! 곱하기 0^0 이는 1입니다 이는 1이며 따라서 6입니다 어떤 방법이든 첫 번째로 했던 방법은 조금 더 깔끔했습니다 바로 구했습니다 이전에 보았던 것이고 하지만 두 방법 모두 같은 방법으로 풀었습니다 오른쪽에선 시그마를 씌운채로 풀었죠 이 방법은 수학에서 문제를 풀 때 자주 사용되고 시그마 표시를 사용한 채로 도함수를 구하면 아주 유용합니다