비율 판정법

우리는 이미 기하급수에 대해 많이 다루어 보았습니다 우리는 이미 기하급수에 대해 많이 다루어 보았습니다 예를 들어 무한 기하급수 ∑r^n을 보면 예를 들어 무한 기하급수 ∑r^n을 보면 이는 r^k+r^(k+1)+r^(k+2)...이 될 것입니다 이는 r^k+r^(k+1)+r^(k+2)...이 될 것입니다 이는 r^k+r^(k+1)+r^(k+2)...이 될 것입니다 여기에는 이미 알고 있는 것들이 있습니다 우리는 공비를 압니다 연속하는 두 항들 사이의 비율인 공비는 r^(k+1) 연속하는 두 항들 사이의 비율인 공비는 r^(k+1) r^(n+1)로 쓰겠습니다 여기에 있는 k를 쓰고 싶지 않습니다 그래서 {r^(n+1)}/{r^n}이 되고 이것은 그냥 r이 됩니다 어떤 것의 n+1제곱을 n제곱으로 나누면 그냥 r, 또는 r^1이 나오는 것을 이렇게 볼 수 있습니다 그냥 r, 또는 r^1이 나오는 것을 이렇게 볼 수 있습니다 한 항에서 다른 항으로 갈때 단지 r을 곱해줄 뿐입니다 여기까지가 복습입니다 만약 이것을 처음 배운다면 기하급수에 대한 동영상을 보고 오는 것을 추천합니다 그리고 여기에서 흥미로운 것은 우리가 기하급수 관련 동영상들에서 공비의 절댓값이 1보다 작으면 기하급수가 수렴한다는 것을 증명했습니다 만약 r의 절댓값이 1 이상이면 기하급수가 발산합니다 이것은 타당하고 증명을 했었습니다 그리고 여기서도 보면 만약 r의 절댓값이 1보다 작으면 각 항이 그 공비만큼 작아질 것이고 다른 말로 그 공비만큼 곱해질 것이고 그 값이 계속계속 작아져서 결국, 이 급수가 무한의 덧셈임에도 불구하고 유한한 값으로 수렴할 것입니다 이제 복습을 끝냈으니까 좀 더 흥미로운 것들을 배워봅시다 예를 들어 우리가 이러한 수열에 대해 알아보고 싶다고 합시다 n은 5부터 ∞까지 증가하고 분자는 n^10이라고 합시다 분자가 빠르게 커집니다 ∑n^10/n! 그리고 계승 또한 매우 빠르게 커집니다 아마도 이러한 높은 차수의 다항식보다도 더욱 빨리 커질 것입니다 더욱 빨리 커질 것입니다 이것이 수렴한다는 것을 어떻게 증명할까요? 발산 판정법을 통해 발산하지 않는다는 것은 증명할 수 있지만 이것이 실제로 수렴한다는 것은 어떻게 증명할까요? 우리의 직감을 사용할 수 있습니다 일단 공비를 찾을 수 있는지 봅시다 일단 여기에 공비가 있는지 봅시다 일단 n+1번째 항을 보면 (n+1)^10/(n+1)!일 것이고 이것을 n번째 항으로 나눕시다 그래서 이걸 n^10/n!으로 나누면 나눌 때에는 그것의 역수를 곱하는 것과 같으므로 나눌 때에는 그것의 역수를 곱하는 것과 같으므로 역수를 곱해주면 (n+1)^10/(n+1) * n!/n^10입니다 제가 하려는 것은 위에서 했던 것과 같습니다 어떠한 공비가 있는지를 보는 것입니다 조금의 계산을 해보면 (n+1)!은 (n+1)*n!과 같습니다 (n+1)!은 (n+1)*n!과 같습니다 (n+1)!은 (n+1)*n!과 같습니다 계승이 있는 연산의 우선순위를 따지는 것은 익숙하지 않지만 이 계승은 여기에 n에만 적용됩니다 그리고 왜 이것이 도움이 되냐하면 이 n!은 저 n!과 상쇄되고 그렇게 되면 (n+1)^10/(n+1)n^10이 남기 때문입니다 그렇게 되면 (n+1)^10/(n+1)n^10이 남기 때문입니다 그렇게 되면 (n+1)^10/(n+1)n^10이 남기 때문입니다 저는 여러분이 무슨 생각을 하는지 압니다 이 값은 고정된 공비가 아닙니다 n+1항을 n항으로 나누면 연속되는 두 항 사이의 비가 n값이 무엇인지에 따라서 달라집니다 여기서 공비는 n에 대한 함수라고 할 수 있습니다 그래서 이것은 많이 도움이 되어보이진 않지만 만약 제가 이러한 어떤 수열이든 간에 우리가 정말로 중요하게 생각하는 것은 n이 매우 많이 커져서 n이 ∞로 갈때라고 한다 해봅시다 만약 우리가 이 함수의 성질을 봤을 때 n이 무한대로 가면서 어떤 유한한 값에 수렴한다면 n이 무한대로 가면서 어떤 유한한 값에 수렴한다면 우리가 그것을 공비의 극한이라고 생각해도 개념적으로 타당합니다 생각해도 개념적으로 타당합니다 그러니까 그렇게 합시다 lim(n+1)^10/(n+1)n^10 우리가 무엇을 하려는지 생각해봅시다 이것은 이상한 주술같은 것이 아닙니다 이것을 옮겨 적겠습니다 우리는 공비가 어떤 값에 수렴하는지 생각해보려고 하는 것입니다 두 항 사이의 비율이 무엇인지를 생각해보려는 것입니다 n이 매우 많이 커지면 n항과 n+1항 사이의 공비가 어떻게 되는지 생각합시다 우리가 분자에서 알 수 있는 것은 이것을 곱할 필요도 없이 n^10과 다른 항들의 합이라는 것을 알 수 있습니다 n^10과 다른 항들의 합이라는 것을 알 수 있습니다 최대 차수가 10인 다항식일 것입니다 분모는 실제로 계산해보면 n^11 + n^10일 것입니다 n이 무한대로 발산하게 되면 분모가 분자보다 더 빠르게 커지게 됩니다 분자와 분모를 n^10로 나누면 분자와 분모를 n^10로 나누면 아니 n^11로 나누면 분자는 0으로 수렴할 것이고 분모는 1으로 수렴할 것입니다 그러니까 이 lim값은 0이 될 것입니다 그러니까 이 lim값은 0이 될 것입니다 그러니까 이 lim값은 0이 될 것입니다 n이 무한대로 가면서 공비는 0이 될 것입니다 n이 무한대로 가면서 공비는 0이 될 것입니다 우리가 위에서 봤던 기하급수의 공비에 대한 논리를 보면 이것은 물론 기하급수가 아니긴 하지만 n이 엄청나게 커지면서 연속하는 두 항 사이의 비율이 점점 작아집니다 우리는 같은 결론을 내릴 수 있을까요? 이 함수가 결국 수렴한다는 같은 결론을 내릴 수 있을까요? 이 함수는 수렴한다는 문장이 참일까요? 이 함수는 수렴한다는 문장이 참일까요? 정답은 참입니다 이것을 성립하게 해주는 것은 비판정법입니다 여기에 적겠습니다 비판정법(Ratio Test) 비판정법이 우리에게 알려주는 것은 만약 무한급수가 하나 있고 만약 무한급수가 하나 있고 n은 k부터 무한대까지라고 하면 lim|An+1/An|을 봅시다 그리고 lim|An+1/An|을 보면 위에서는 절댓값을 취해주지 않았지만 위에서는 절댓값을 취해주지 않았지만 위에서는 모든 항이 양수였으므로 절댓값과 원래 값이 같으므로 절댓값을 취해줘도 됩니다 절댓값을 취해줘도 됩니다 만약 이것이 L에 수렴한다고 하면 만약 이것이 L에 수렴한다고 하면 이 값 L은 N이 계속해서 커졌을 때의 연속된 두 항 사이의 비율이 될 것이고 만약 L이 1보다 작다면 참고로 위의 상황에서도 L이 1보다 작을 때였고 그렇다면 수열이 수렴합니다 어떤 정의에서는 절대수렴한다고 즉 수열의 절댓값이 수렴한다고 하는데 이것은 곧 수열 자체가 수렴한다는 것을 의미합니다 만약 L이 1보다 크다면 수열은 발산하게 됩니다 그리고 만약 L이 1이라면 모릅니다 다른 판정법을 해봐서 수렴하는지 발산하는지 증명해봐야 합니다 이것이 비판정법의 핵심입니다 연속하는 두 항 사이의 비율의 절댓값을 찾아서 n이 무한대에 한없이 가까워질 때 그것이 어떤 값에 수렴하며 그 값이 1보다 작으면 무한급수가 수렴한다는 것입니다 이것은 모두 기하급수의 공비에서 본 기본적인 아이디어에 기반을 두고 있습니다 커넥트 번역 봉사단 | 한승주