예제: 수렴구간

여기에 무한급수가 있으며 이 영상의 목적은 급수가 수렴하는 구간을 구하기 위함입니다 이는 어떤 x 값에서 혹은 x 값의 범위에서 급수가 수렴 하는지를 구하는 것입니다 영상을 멈추고 혼자서 풀어보세요 급수를 보면 등비급수나 교대급수 같이 깔끔하지 않습니다 이와 같은 문제를 보면 비 판정법을 사용합니다 이는 꽤 일반적이기 때문이죠 비 판정법을 사용하기 위해선 극한을 생각해봅시다 n이 무한대에 가까워지는 극한값일 경우의 n+1째 항 나누기 n번째 항입니다 그리고 이 값의 절댓값을 구하죠 이 값이 1보다 작다면 이 값이 1보다 작다면 수렴하게 됩니다 1보다 크게 만드는 x값이 있다면 발산하게 됩니다 그리고 1과 같게 만드는 x값은 결론을 낼 수 없게 만들고 다른 방법을 사용하여 수렴 발산을 확인해야 합니다 그렇다면 이 식을 풀어봅시다 풀어봅시다 극한값이 n이 무한대에 가까워질 경우 절댓값 n+1번째 항 이는 x^n+1입니다 색을 바꿔볼게요 여기 이 항은 x^n+1 나누기 n+1 곱하기 5^n+1입니다 이 항을 n번째 항으로 나눕니다 이 값을 n번째 항으로 나눕니다 이는 x^n 나누기 n 곱하기 5^n입니다 이 전체 값의 절댓값을 구하겠습니다 이를 간단히 해봅시다 여기에 해볼게요 이는 x^n+1 나누기 n+1 곱하기 5^n+1 곱하기 이 분수의 역수와 같습니다 이는 n 곱하기 5^n 나누기 x^n이죠 이를 간단히 할 수 있죠 이는 분모와 분자를 x^n으로 나누면 x만 남습니다 그리고 분자와 분모를 5^n으로 나누면 이 값은 1이 되며 이 값은 5^n+1 나누기 5^n 결과는 5입니다 이제 뭐가 남았나요? xn이 있습니다 x 곱하기 n 나누기 5를 분배하면 5n 5n + 1 여기서 조심해야 합니다 5를 분배합시다 5n + 5 5 곱하기 n 5 곱하기 1 5n + 1 아니죠 5n + 5입니다 좋아요 다시 적어볼게요 이 값은 n이 무한대에 가까워질 경우 이 전체 식의 절댓값의 극한값입니다 이 극한값을 적용하기 위해선 다시 적어야 합니다 분자와 분모를 n으로 나눕니다 값을 바꾸지 않고 분자와 분모에 똑같은 연산을 해줍니다 같은 값으로 나누어 줍니다 분자와 분모를 n으로 나누면 이는 x 나누기 나누기 5 더하기 5/n이 됩니다 따라서 분자와 분모를 n으로 나누면 n이 무한대에 가까워질 경우 어떻게 되는지 보입니다 n이 무한대에 가까워질 경우 x 와 5는 바뀌지 않습니다 5/n이 0에 가까워지죠 따라서 이 극한값은 x/5가 됩니다 깔끔하네요 이제 이를 이용해서 다시 적어볼게요 이는 x/5의 절댓값입니다 이제 어떤 조건 하에 x/5의 절댓값이 1보다 작으며 수렴하는지 찾아야 합니다 어떤 조건 하에 1보다 크며 확산할까요? 어떤 조건 하에 결론에 이르지 못하나요? 언제 수렴을 하는지 구해봅시다 x/5의 절댓값이 1보다 작습니다 이게 수렴할 조건입니다 이는 x/5의 절댓값이 -1보다 -1이 더 작다는 것입니다 이는 1보다 작죠 양 변에 5를 곱하면 -5는 x보다 작고 x는 5보다 작다가 됩니다 이 조건이 참이라면 이 구간이 수렴하는 구간입니다 x가 해당 범위 안에 있다면 급수는 수렴합니다 아직 끝난게 아닙니다 결론에 이르지 못하는 경우를 찾아야 합니다 다음 경우를 생각해봅시다 x/5의 절댓값이 x/5의 절댓값이 1과 같은 경우입니다 이를 다르게 생각하면 x/5는 1과 같거나 x/5는 -1과 같은 경우입니다 이는 x = 5거나 x = -5인 경우죠 비 판정법을 사용하여 결론에 이르지 못하는 경우를 찾았습니다 한번 급수에 이 값들을 대입하여 x = 5인 경우나 x = -5인 경우를 구하여 확인해봅시다 첫 번째 경우에는 새로운 색인 빨간색을 쓸게요 첫 번째 경우는 x = -5이죠 급수에 대입을 합니다 급수는 n이 1 부터 무한대로 갈 경우 5^n 나누기 n x 5^n 의 합입니다 따라서 이는 n이 1부터 무한대로 갈 경우 모든 1/n의 합입니다 이는 조화급수입니다 p가 1일 경우인 p-급수입니다 p-급수는 1입니다 이는 확산합니다 그리고 저번에 보았던 조화급수는 수렴합니다 따라서 이는 확산하죠 이는 p-급수 수렴판정법을 이용해 구할 수 있습니다 p-급수의 p가 1이면 확산합니다 이제 5는 5는 수렴하는 구간이 수렴하는 구간이 아닙니다 이제 x = -5일 경우를 봅시다 x = -5일 경우 다른 색으로 써봅시다 x = -5일 경우 해당 값은 n이 1부터 무한대로 갈 경우의 -5^n의 합과 같습니다 해당 결과를 이는 -5^n 나누기 n 곱하기 5^n입니다 이는 n 부터 무한대까지의 합입니다 이는 -1^n 곱하기 5의 곱하기 5^n 나누기 n5^n입니다 이제 이 값이 이는 교대 조화급수입니다 이를 이제 사용하여 이제 이 값이 수렴한다는 것을 알기 때문에 혹은 교대급수 판정법을 사용할 수 있습니다 교대급수 판정법은 이렇게 적으면 더 깔끔합니다 이는 교대급수입니다 따라서 교대급수 판정법은 이 값이 단조감소하기 때문에 극한값이 n이 무한대로갈 경우가 0이기 때문에 이는 수렴합니다 교대급수가 수렴합니다 수렴하죠 이 값이 수렴하면 이 값을 경계값으로 씁니다 이 값을 수렴하는 구간에 포함합니다 따라서 x는 -5보다 큽니다 이는 -5보다 크거나 같지만 5보다 작아야 합니다 이 구간이 수렴하는 구간입니다