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n번째 항 판정법(일반항 판정법)

동영상 대본

지금부터 급수의 수렴성과 발산성을 보여주는 몇 가지 판정법에 대해 배워보겠습니다 제일 먼저 배워볼 것은 가장 기초적이면서 직관적인 발산판정법입니다 발산판정법은 급수의 수렴성에 대해서는 아무것도 말해주지 않습니다 하지만 이 판정법을 이용해 급수가 분명히 발산할지는 알 수 있습니다 먼저 수학적 정의를 한 번 써 보고 그런 다음 조금 더 확실한 예를 들어보겠습니다 발산판정법에 의하면 n 이 무한대로 늘어날 때 수열 {a_n}의 극한이 0이 아니라면 n 의 값이 1부터 무한대까지의 a_n 의 무한급수는 발산하게 됩니다 저희는 이미 급수가 발산한다는 게 무엇인지 알고 있습니다 바로 수열의 모든 항의 합이 양의 무한대이거나 음의 무한대가 된다는 것이죠 아니면 특정 값들 사이에서 왔다 갔다 하거나 급수가 발산할 때 수열의 합은 절대로 특정한 값을 향하지 않습니다 그것이 바로 발산판정법이 말하는 바입니다 아마 이렇게 생각하시겠죠 뭐 그래 별로 어렵지 않네 무슨 뜻인지 대충 알겠어 근데 이게 어떻게 유용 하다는 거지 그 유용성을 보기 위해 예시로서 이 급수들을 탐구해 봅시다 그리고 이 급수들이 어떻게 발산하는지 알아보죠 이 급수를 예로 들어봅시다 n 의 값이 1부터 무한대까지의 무한급수 a_n 사실 n 이 꼭 1에서부터 시작 할 필요는 없습니다 5에서 부터 시작 할 수도 있고 0 일 수도 있습니다 중요한 점은 바로 우리는 무한급수를 다루고 있기 때문에 n 이 무한대로 향하여 한다는 것입니다 이 급수를 한 번 보죠 (4n² - n³) / (7 -3n³)은 (4n² - n³) / (7 -3n³)은 우리가 이미 발산판정법에 대해 알고 있다는 가정하에 이 급수는 수렴할까요 아니면 발산할까요 이렇게 한 번 봅시다 우리가 더하는 항들 말입니다 그것은 바로 수열 {a_n} 입니다 발산판정법의 정의에 따르면 말이죠 발산판정법의 정의에 따르면 말이죠 일단 이 수열의 극한을 구해 봅시다 n 이 무한대로 향할 때 (4n² - n³) / (7 -3n³)은 (4n² - n³) / (7 -3n³)은 무엇인지 잠시 이영상을 멈추고 생각해 봅시다 몇 가지 방법이 있습니다 그 중 하나는 바로 n 이 무한대로 향하니 분모와 분자의 최고차항을 살펴보는 것입니다 그러므로 이 수열은 -n³ / -3n³ 로 향하게 됩니다 그리고 그 것은 -1 / -3 즉 1/3이 됩니다 다른 방법으로 생각해보자면 그러니깐 조금 더 체계적인 방법으로 말이죠 n 이 무한대로 향할 때 이 수열의 극한은 분모와 분자를 둘 다 n³으로 나누어서 구할 수 있습니다 그래서 분모와 분자를 n³ 으로 나누게 되면 그 수열은 이렇게 됩니다 (4/n - 1)/(7/n³ - 3) 이제 분명히 보입니다 n 이 무한대로 향할 때 이 수열의 극한은 0이 됩니다 바로 0이요 이제 -1 / -3 즉 1/3이 남게 됩니다 보시죠 n 이 무한대로 갈 때 수열 {a_n} 의 극한은 0이 아닙니다 그러므로 이 무한급수는 발산합니다 자 이게 왜 말이 되나 한 번 생각해 봅시다 이 급수가 수렴할 유일한 방법은 그러니깐 우리는 무한급수를 보고 있습니다 그 말인 즉슨 무언가를 끈임없이 더하는 것입니다 그러므로 무언가를 끈임없이 더하면서 그 합이 유한의 값으로 수렴할 유일한 방법은 바로 더해지는 무언가가 계속 줄어드는 것입니다 계속 줄어들어서 0을 향하게 되는거죠 n 이 무한대로 향할 때 그러니깐 끊임없이 커짐에도 불구하고 수열의 합이 1/3이라면 그 말은 바로 이 수열의 항들이 계속 더해져 결국 끝에 가서는 1/3에 가까워 진다는 것입니다 생각해 보시죠 1/3 을 끊임없이 더한다고 하면 그 합은 무한대가 됩니다 끝이 없죠 그 말인 즉슨 급수가 발산하게 됩니다 자 어떤 급수가 수렴하기 위해서는 그 급수가 결국 0에 가까운 숫자를 한 없이 0에 가까운 숫자를 더해야 합니다 만약에 계속 더해지는 숫자가 0에 가까워지지 않는다면 그 급수가 수렴할 방법은 없습니다 그 급수는 발산할 것입니다 앞서 설명이 도움이 되었길 바랍니다 자 그럼 우린 또 다른 것을 알게됩니다 바로 발산판정법이 할 수 없는 것 말이죠 발산판정법은 급수의 발산성을 알아보기 위해 사용할 수 있습니다 하지만 어떤 급수가 발산판정법을 충족한다고 해서 혹은 충족하지 못한다고 할 수 있겠군요 다시 말해 그 급수가 발산판정법을 충족하지 못 한다고 해서 수렴한다는 것은 아닙니다 여기 그것의 예가 있습니다 여기 있는 n 의 값이 1부터 무한대로 향할때의 무한급수 1/n 이건 사실 조화급수입니다 무한급수 1/n 이건 사실 조화급수입니다 한 번 보시죠 이 급수에 발산판정법을 사용해 보면 n 이 무한대로 향할 때 수열의 극한이 1/n 에서 분모가 하염없이 커지니깐 바로 0이네요 n 이 무한대로 향할 때 이 수열은 0이 됩니다 그러므로 이 수열은 발산판정법을 충족하지 못 한다고 할 수 있군요 그러므로 발산판정법을 이용해 이 급수가 발산한다는 것을 보일 수는 없습니다 하지만 그렇다고 이 급수가 발산하지 않는것은 아니죠 다른 강의영상에서 몇 번 나왔듯이 이 급수는 사실 발산합니다 여기 있는 급수는 발산합니다 단시 발산판정법으로는 충분하지 않았던 것이죠 발산판정법은 이 수열이 발산하다는 것을 단정하기에 충분하지 않았던 것입니다 그렇기에 우리는 비판정법과 적분판정법을 통해 이 급수가 사실 발산한다는 것을 보이겠습니다 어떤 급수가 발산판정법을 충족하지 않는다고 해서 꼭 발산하지 않는 것은 아닙니다 그러니깐 n 이 무한대로 향할 때 이 수열이 0이 된다고 해도 그래도 그 급수는 발산할 수 있습니다 꼭 그 급수가 수렴해야된다는 것은 아닙니다 자 그래도 분명히 수렴하는 급수들이 있습니다 n 이 무한대로 커질 때 수열이 0으로 향하면서 말이죠 예를 들어 n 의 값 1부터 무한대까지의 무합급수 1/n² 을 구해본다 하죠 여기에 발산판정법을 적용해 봅시다 n 이 무한대로 향할 때 1/n² 은 0이 됩니다 다른 말로 표현하자면 n 이 하염없이 커질수록 여기 있는 수열은 0으로 향하게 됩니다 다시 말하지만 이 급수는 발산판정법을 충족하지 못합니다 하지만 이 사실 하나 만으로는 이 급수가 수렴할지 아닐지 단정짓지 못합니다 발산 할 수도 있습니다 단지 발산판정법은 이를 보여주기 위해 충분하지 않았던 거겠죠 자 그러므로 저희는 후에 강의에서 이 급수가 수렴한다는 것을 증명하겠습니다 이 급수가 수렴한다면 그것은 발산판정법을 충족시키지 못 해서는 아닙니다 하지만 우리는 다른 판정법을 통해 이 급수가 사실 수렴한다는 것은 보여야합니다 다른 방법으로 이 급수가 발산한다는 것을 보이는 것처럼요 발산판정법이 유용한 경우는 발산판정법을 충족하는 급수가 있을 때입니다 n 이 무한대로 갈 때 수열 {a_n} 의 극한이 0일 아닐때죠 바로 여기 있는 수열처럼요 주어진 급수가 발산한다는 것을 보일 수 있었기에 이 경우에는 발산판정법이 유용합니다