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테일러 급수로 추정하는 것을 그려보기

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함수를 근사하기 위해 다항식을 이용하는 것에 대해 수 없이 이야기하였습니다 그런데 이번 시간에는 근사식이 실제로 일어나는 것을 보여드릴 것입니다 울프럼 알파를 이용하였습니다 아주 좋은 사이트에요 수학적으로 복잡한 모든 것들을 여기서 다룰 수 있습니다 울프럼 알파에서 복사, 붙여넣기 하였습니다 얼마 전에 컨퍼런스에서 스티븐 울프럼을 만났는데요 강의하면서 울프럼 알파를 당연히 사용해도 된다고 하였습니다 전 좋다고 했죠 전 좋다고 했죠 여기 보세요 이는 엄청나게 유용합니다 직접 계산해야 했거나 직접 계산해야 했거나 그래프 계산기로 했어야 하는데 울프럼 알파에서 한 단계만 거치면 sinx가 어떻게 근사되는지 확인할 수 있습니다 매클로린 급수 전개 혹은 x=0에 대한 테일러 급수 전개에서 항을 더욱 더 많이 이용하면 말이죠 항을 많이 더할수록 사인 곡선이 더 잘 그려진다는 것은 사실입니다 주황색 그래프가 sinx 입니다 익숙하죠 이전 강의에서 sinx의 매클로린 전개가 무엇인지 풀었습니다 울프럼 알파에서 이를 잘 나타내 주었습니다 팩토리얼도 계산했네요 3! = 6, 5! = 120 이런 식으로 말이죠 여기서 재밌는 점은 여러분이 그리고 싶은 그래프의 근사 중에서 몇 개를 선택할 수 있느냐 입니다 항 1개에 대하여만 근사한다면 항 1개에 대하여만 근사한다면 전체 항이 아니라 다항식이 그냥 x라고 한다면 그래프는 어떻게 될까요? 바로 이 그래프입니다 사용한 항의 개수를 그래프의 점의 개수로 나타내 주었습니다 스마트한 방법이죠 따라서 이 함수 p(x) = x 입니다 대략적으로 근사하였습니다 sinx와 비교하면 그렇게 나쁘진 않습니다 sin 곡선과 여기서 만나고 sin 곡선에서 멀어지기 시작합니다 다른 항을 더해보죠 x - x³/6 입니다 전개식에 항이 2개 있습니다 혹은 3차항이라고 합시다 그래프의 점의 개수를 나타내기도 하니까요 항의 개수에 대한 언급은 없습니다 항의 차수가 중요하죠 여기에는 점이 하나입니다 1차항이기 때문이죠 항이 2개일 때 sinx를 전개할 때 이차항이 없으므로 삼차다항식의 근사가 되는 것입니다 삼차그래프를 살펴봅시다 점이 3개인 그래프를 보아야 합니다 바로 여기 있네요 항이 1개라면 직선이 되고 그 식에 -x³/6을 더하면 이런 곡선이 됩니다 sin 곡선과 더 일찍 만나네요 그리고 조금 더 오래 맞닿아 있습니다 2번째 항을 더한 결과는 아주 만족스럽습니다 sin 곡선과 잘 맞닿았는데 이는 수가 더 작아질수록 그렇습니다 다른 항을 더합니다 5차식이 됩니다 x - x³/6 + x^5/120 점이 5개인 그래프를 살펴봅시다 이 그래프입니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 바로 이 곡선입니다 분홍색 곡선과 비교하면 sin 곡선과 더 일찍 만납니다 그리고 더 오래 맞닿아 있습니다 그러곤 획 올라갑니다 따라서 더 오래 맞닿아 있습니다 계속해서 4번째 항까지 있다면 계속해서 4번째 항까지 있다면 7차식이 되므로 점이 7개인 그래프를 보면 이런 식으로 들어와서 항이 3개인 경우보다 더 빨리 곡선과 만납니다 여기까지 곡선과 계속 맞닿아 있습니다 마지막 항입니다 모든 항을 포함한 9차식이라면 sin 곡선과 더 가까워겠죠 여기서 시작하여 다른 곡선보다 오래 맞닿아 있고 여기서 빠져나갑니다 생각해보면 일리 있습니다 연속적인 항을 전개식에 추가하여 x의 차수가 점점 커지기 때문이죠 x의 차수가 점점 커지기 때문이죠 따라서 x가 작을 때 즉, x값이 원점에 가까울 때 분모는 엄청나게 커집니다 분자는 1보다 작은데 말이죠 1보다 작은 값의 절댓값에 거듭제곱을 하면 아주 작아집니다 따라서 원점에 가까울수록 뒤에 오는 항은 별로 중요하지 않습니다 따라서 먼저 온 항들의 정확성을 잃지 않는 것이죠 복잡한 항이 들어오면 분자는 분모를 압도할 수 있게 됩니다 따라서 마지막 항은 이 부분과 관련이 있습니다 x^9이 362,880을 넘어서는 부분이죠 음수인 부분도 마찬가지구요 느낌이 왔기를 바랍니다 여기에는 5개항 뿐입니다 항이 무한대라고 상상해 보세요 무한대로 간다면 sin 곡선에 가까워진다는 느낌이 오죠? 이해가 되었길 바랍니다 재미로 sinx의 0에 대한 테일러 전개식이나 또는 sinx, cosx, e^x의 매클로린 전개식 또는 급수를 타이핑해 보세요 울프럼 알파에서 말이죠 여러 다른 함수들을 이용하여 항을 더하고 빼면서 곡선에 가까워지는지 확인합니다