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지난 시간에 cosx의 매클로린 급수를 구하였습니다 이 다항식을 이용하여 근사했었죠 꽤 흥미로운 패턴을 발견하였습니다 매클로린 급수를 이용하여 sinx를 근사한다면 비슷한 패턴이 나오는지 확인해 봅시다 다시 한번 알려드리면 매클로린 급수는 테일러 급수를 x=0을 중심으로 근사하는 것과 동일합니다 즉 테일러 급수의 특별한 경우인 셈이죠 f(x) = sinx인 경우 급수를 구해봅시다 f(x) = sinx인 경우 급수를 구해봅시다 f(x) = sinx인 경우 급수를 구해봅시다 그 다음 cosx에서 했던 것처럼 똑같이 해봅시다 빠르게 sinx의 도함수를 구해봅시다 빠르게 sinx의 도함수를 구해봅시다 sinx의 도함수는 cosx입니다 sinx의 이계도함수는 cosx의 도함수이므로 -sinx입니다 삼계도함수는 이계도함수의 도함수입니다 프라임 세 개 대신 (3)으로 나타낼게요 따라서 삼계도함수는 이계도함수의 도함수 즉 -cosx입니다 사계도함수는 삼계도함수의 도함수이므로 다시 sinx가 됩니다 보다시피 미분을 충분히 하고나면 cosx처럼 순환합니다 매클로린 급수를 구하기 위해서 x=0에서 도함수들의 값을 계산해야 합니다 해봅시다 같은 파란색이 아닌 다른 색으로 할게요 보라색으로 하죠 보기 힘드네요 다른 색으로 하죠 f(0) = 0 입니다 f'(0) = 1 입니다 cos0 = 1 -sin0 = 0 즉 f''(0) = 0 입니다 f^(3)(0) = -1 입니다 cos0 = 1이고 마이너스 부호가 있으므로 -1입니다 f^(4)(0)은 다시 0이 됩니다 계속 하다보면 패턴이 있는 것처럼 보입니다 0, 1, 0, -1, 0 그 다음 다시 1입니다 이런 식으로 계속됩니다 매클로린 급수를 이용하여 다항식으로 나타내 봅시다 상기시키자면 이 식은 cosx를 근사한 식입니다 cosx에 가까워질 것입니다 이 식이 cosx와 완전히 똑같다고 엄격하게 보여주려는 것이 아니라 항을 더할 때마다 cosx에 가까워진다는 것을 보여줍니다 이렇게 무한히 더하다 보면 cosx에 상당히 가까워 집니다 sinx에 대해서도 구해봅시다 새로운 색을 고를게요 녹색이 좋겠네요 새로운 p(x)입니다 항을 더할 때마다 sinx에 가까워질 것입니다 첫 번째 항 f(0)은 0입니다 따로 포함시키지 않겠습니다 다음 항은 f'(0)=1 곱하기 x 입니다 따라서 x가 됩니다 다음 항은 f''(0)이므로 0이 됩니다 살짝 화면을 올리겠습니다 0이 나오므로 이차항은 없습니다 다음 항은 f'''(0) = -1 입니다 다음 항은 f'''(0) = -1 입니다 -1이 되므로 화면을 올려볼게요 이 값은 -1이고 x/3! 를 곱합니다 x/3! 를 곱합니다 다음 항은 0이 될 것입니다 x=0에서 사계도함수는 다음 계수의 순서가 0이므로 이 항은 사라집니다 확인하려고 하는 것은 사실 여러분이 만족할 정도로 충분한 항을 나열하지 않은 것 같습니다 항을 하나 더 추가해 봅시다 확실하게 알 수 있도록 말이죠 다시 f^(5)(x) = cosx 입니다 다시 f^(5)(x) = cosx 입니다 일관서 있게 같은 색으로 할게요 f^(5)(0) = 1 입니다 f^(5)(0) = 1 입니다 f'^(4)(0) = 0 이므로 f^(5)(0) = 1 입니다 f^(5)(0) = 1 입니다 계속 구하자면 1은 생략하고 x^5 / 5! 입니다 무언가 흥미로운 점이 있습니다 cosx의 급수에서 1 × cos0 = 1로 시작하고 x의 일차항은 없습니다 x의 홀수차항이 없네요 모두 짝수차항입니다 그리고 차수와 관계없이 팩토리얼로 나누어줍니다 부호가 일정하게 바뀝니다 1을 짝수차항이라고 할 수 없습니다 0은 실제로 그렇지 않으니까요 하지만 짝수로 볼 수 있습니다 자세히 설명하진 않겠지만 0, 2, 4, 6, 이런 식으로 이어지기 때문입니다 이 식과 비교하면 상당히 흥미로워집니다 이 식은 홀수차항만 존재합니다 이것은 x¹을 1!로 나눈 것입니다 굳이 적진 않았습니다 이것은 x³을 3!로 나눈 것입니다 이것은 x^5를 5!로 나눈 것입니다 0을 짝수로 볼 수 있겠죠 어쨌든 두뇌가 다른 곳에 있네요 계속 하다 보면 이 과정을 진행하다 보면 부호가 일정하게 변화합니다 -x^7 / 7! +x^9 / 9! 무언가 흥미로운 것이 있습니다 sin과 cos 사이의 상보적인 성질을 확인할 수 있습니다 각자의 틈을 채워줍니다 각자의 틈을 채워줍니다 cosx는 모두 짝수차항이고 제곱수의 팩토리얼로 나눈 것입니다 sinx에서 다항식을 보면 모두 홀수차항이고 제곱수의 팩토리얼로 나눈 것입니다 부호도 일정하게 바뀌죠 다음 시간에는 e^x에 대해 해보겠습니다 재밌는 점은 e^x는 이 두 식의 조합인 것처럼 급수가 시작하지만 사실 그렇지 않습니다 허수를 더해야 조합할 수 있습니다 그 순간이 정말 설레기 시작하는 때입니다