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예제: 테일러 급수에서 함수 알아내기

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주어진 식은 다음 중 어떤 함수의 0에 대한 테일러 급수일까요? 보기가 주어졌습니다 이 급수에 대하여 잠시 생각해 봅시다 이 급수에 대하여 잠시 생각해 봅시다 이 식을 전개하면 n=0일 때 (-1)^0 = 1 이고 x^0 = 1 이며 0! = 1 이므로 1이 됩니다 그 다음 n=1일 때 이 식은 음수가 됩니다 -x/1! -x/1! 즉, x입니다 n=2일 때 (-1)² = 1이므로 x²/2 입니다 다음은 -x³/3! 입니다 다음은 -x³/3! 입니다 이런 식으로 진행됩니다 저번에 보았죠 x⁴/4! 계속 진행됩니다 -, + 부호가 번갈아가면서 바뀝니다 0에 대한 테일러 급수의 즉, 매클로린 급수의 일반적인 형식은 f(0) + f'(0)x + f''(0)·x²/2 + f''(0)·x²/2 + f'''(0)·x³/3! + f'''(0)·x³/3! + f^(4)(0)·x⁴/4! + f^(4)(0)·x⁴/4! 이렇게 진행됩니다 어떤 함수에 대한 파란색의 매클로린 급수 또는 0에 대한 테일러 급수 아니면 매클로린 급수인지 구하기 위해서 f(0) = 1이고 f'(0) = -1 적으면서 할게요 f(0) = 1이고 f(0) = 1이고 f'(0)은 x의 계수인 -1이 되어야 하고 이렇게 계속 합니다 f''(0)는 즉, x²/2의 계수는 즉, x²/2의 계수는 1입니다 일반화할 수 있겠죠 f'''(0) = -1 입니다 이는 x³/3!의 계수인 -1 입니다 이 값들을 이용하여 정답이 무엇인지 풀 수 있을까요? 연역적 추론을 할 수 있습니다 이 모든 함수들을 0에 대하여 계산하고 어떤 것이 1이 되는지 확인해 봅시다 sin0 = 0 입니다 sin0 = 0 입니다 첫 번째 조건을 확인한 결과 sin0 ≠ 1 입니다 틀렸습니다 cos0 = 1이므로 아직 틀리지 않았습니다 e^0 = 1 입니다 e^(-0) = 1 입니다 ln(1+0) = 0 입니다 ln1 = 0 이 되므로 틀립니다 f(0) = 1 이라는 첫 번째 조건에 따라 두 보기를 지웠습니다 다음은 f'(0) = -1 입니다 다음은 f'(0) = -1 입니다 cosx의 도함수는 무엇일까요? -sinx 입니다 0을 대입하면 -1이 아닌 0이 나옵니다 따라서 틀렸습니다 e^x의 도함수는 e^x 입니다 0을 대입하면 1이 나오는데 -1이 아니므로 틀렸습니다 더 이상 계산해보지 않아도 D가 정답임을 유추할 수 있지만 확인해 봅시다 도함수, 즉 f'(x)는 -e^(-x) 입니다 따라서 f'(0)은 -e^0 = -1 입니다 조건을 만족하네요 의심스럽다면 다음 조건들도 만족하는지 계속 확인해볼 수 있습니다 하지만 처음 두 조건 f(0) = 1과 f'(0) = -1을 만족하는 보기 D가 정답입니다