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f(x)의 매클로린 급수 표현식을 구할 수 있는지 확인해 봅시다 f(x)는 x³cosx² 입니다 f(x)는 x³cosx² 입니다 강의를 멈추고 한번 풀어 보세요 기억하세요 매클로린 급수는 0을 중심으로 하는 테일러 급수일 뿐입니다 목표는 이 식의 매클로린 급수 표현식 또는 매클로린 급수의 근사식의 처음 5개 항이 0이 아닌 것입니다 강의를 멈추고 풀어 보았다고 가정할게요 이 식을 풀 때 상당히 좌절하였을 가능성이 큽니다 테일러 급수나 매클로린 급수를 구하기 위해서 이 함수의 도함수를 구해야 하는데 도함수를 구하기 시작하면 고통스러워지기 때문이죠 f'(x)는 곱의 미분법을 이용하면 3x²cosx² + x³·2x(-sinx²) 3x²cosx² + x³·2x(-sinx²) 3x²cosx² + x³·2x(-sinx²) 3x²cosx² + x³·2x(-sinx²) 3x²cosx² + x³·2x(-sinx²) 고통스럽네요 그러나 두 번, 세 번, 네 번 미분할수록 더욱 더 고통이 커질 것입니다 더 미분해야 할지도 모릅니다 어떤 항은 0이 될 수도 있기 때문이죠 처음 5개 항이 0이 아니어야 합니다 f''(x)는 고통입니다 f''(x)는 고통입니다 삼계도함수, 사계도함수 모두 고통스러울 것입니다 어떻게 해야 하나요? 그냥 해야 합니다 구한 식에 0을 대입하여 계수를 구합니다 하지만 이 식을 푸는데 쉬운 방법이 있다고 예상했을 것입니다 힌트를 드릴게요 cosx의 매클로린 급수를 알고 있죠 지난 강의에서 다루었습니다 다시 보고 싶다면 다른 강의가 있습니다 칸아카데미에서 "cosine Taylor series at zero"인 0에서 코사인의 테일러 급수를 찾아보세요 하지만 이미 알고 있습니다 이는 유명한 매클로린 급수 중 하나입니다 g(x) = cosx 라고 합시다 g(x) = cosx 라고 합시다 g(x) = cosx 라고 합시다 이 식의 매클로린 급수 근사식은 이 식의 매클로린 급수 근사식은 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! + 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! + 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! + 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! + 이런 식으로 진행됩니다 어떻게 돌아가는지 알겠죠? + x^8/8! 마이너스, 플러스 돌아가며 계속 됩니다 5개 항이 필요하므로 이 항들입니다 이 함수에 대한 5개 항을 구해야 하지만 기다려 보세요 이 식이 어떻게 유용해지는지 확인할 수 있을 것입니다 cosx의 매클로린 급수 표현식으로써 상기시켜 보았습니다 힌트는 이 식을 이용하여 이 함수의 매클로린 급수 표현식을 구할 수 있냐는 것입니다 이 함수의 매클로린 급수 표현식을 구할 수 있냐는 것입니다 명심하세요 이 식은 다시 읽어 드릴게요 x³g(x²) 입니다 엄청난 힌트입니다 다시 강의를 멈추고 시도해 보세요 다시 적어볼게요 시도해 보았다고 가정하겠습니다 적은 식을 다시 나타내 볼게요 말씀드렸다시피 f(x)는 말씀드렸다시피 f(x)는 이런 식으로 나타내면 g(x)를 이용하여 나타내면 g(x)를 이용하여 나타내면 x³ cosx² 대신에 g(x²)으로 나타냅니다 x³g(x²) x³g(x²) x³g(x²) g(x) = cosx 이므로 g(x²) = cosx² 입니다 여기에 x³을 곱합니다 이 식을 근사식에 바로 적용하면 안되는지 질문할 수도 있겠죠 당연히 가능합니다 x 대신 x²을 대입한다면 다른 다항식이 나올 것입니다 여기에 x³을 곱하면 다른 다항식이 나올 것입니다 매클로린 급수 표현식도 마찬가지일 것입니다 시작하려는 함수에 대하여 말이죠 이 함수식의 매클로린 급수 표현식이 나올 것입니다 f(x)는 다음 식에 근사합니다 f(x)는 다음 식에 근사합니다 x³ x³ 여기 공간을 확보하겠습니다 g(x²) 이 식은 g(x)의 근사식이므로 이렇게 계속 진행하면 g(x)의 표현식이 됩니다 따라서 x 자리에 x²으로 바꾸어 봅시다 1 - (x²)² = x⁴ 이므로 x⁴/2! 2! = 2 이지만 패턴을 파악하기 위해 팩토리얼 기호를 그대로 두겠습니다 x가 x²이므로 (x²)⁴ = x^8 입니다 + x^8/4! (x²)^6 = x^12 이므로 - x^12/6! (x²)^8 = x^16 이므로 + x^16/8! 물론, 이렇게 부호가 바뀌면서 계속 진행됩니다 하지만 0이 아닌 처음 5개 항만 알면 됩니다 이 식은 근사식에 불과합니다 이 식은 근사식에 불과합니다 따라서 이 식은 다음과 같습니다 따라서 이 식은 다음과 같습니다 x³을 분배하는 것을 재밌게 분홍색으로 할게요 x³을 분배하면 x³ - x^7/2! + x^11/4! - x^15/6! + x^19/8! + x^19/8! 이렇게 0이 아닌 처음 5개 항을 구했습니다 이렇게 0이 아닌 처음 5개 항을 구했습니다 이렇게 나온 식을 보면 직접 계산했으면 힘들게 영원히 구해야 했을 것입니다 이런 말도 안되는 식의 19번 미분한 식까지 구해야 하기 때문이죠 하지만 이 함수를 x의 거듭제곱식과 매클로린 급수를 알고 있는 식의 곱으로 매클로린 급수를 알고 있는 식의 곱으로 다시 나타낼 때 다시 나타낼 때 이런 방식의 관점으로 식을 다시 나타낸다면 덜 혼란스러운 방식으로 해보죠 이 함수를 다시 나타내면 이 함수를 다시 나타내면 계수를 붙이겠습니다 Axⁿ과 다른 함수의 곱 색깔을 다르게 할게요 보라색으로 하죠 Axⁿ·g(Bx^m) Axⁿ·g(Bx^m) 복잡한 계산 과정 없이 쉽게 할 수 있습니다 이미 알고 있는 g(x)의 매클로린 급수 표현식을 알고 있다면 g(x)가 어떤 식인지 알고 있다면 이번 시간에 한 것처럼 똑같이 하면 됩니다 g(x)의 매클로린 급수 표현식을 구하고 x가 보이는 곳에 Bx^m을 대신 집어넣습니다 여기서 m은 지수입니다 그러면 다른 다항식이 나올 것입니다 그러면 다른 다항식이 나올 것입니다 그 다음 Ax^n을 곱하면 다른 멱급수가 나올 것이고 다른 멱급수가 나올 것이고 기존 함수의 멱급수가 될 것입니다 너무 재밌네요