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예시: 멱급수에서의 cos 함수

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여기 무한급수가 있습니다 다음 식의 n=0부터 ∞까지의 합입니다 (-1)ⁿ·x^(6n)/(2n)! (-1)ⁿ·x^(6n)/(2n)! 이번 시간의 목표는 x=³√(π/2)일 때 이 무한급수를 계산하는 것입니다 강의를 멈추고 스스로 해보길 권합니다 힌트를 드리죠 문제를 푸는 핵심은 어떤 함수에 대한 멱급수이냐는 것입니다 그리고 이 값을 계산하기 위해 그 함수를 이용합니다 다른 단서가 있습니다 π/2는 미심쩍고 의심스러운 수입니다 π/2는 미심쩍고 의심스러운 수입니다 왠지 삼각함수를 이용할 것 같습니다 왠지 삼각함수를 이용할 것 같습니다 그러면 좀 더 간단해 질텐데 말이죠 이제 스스로 해보세요 해보았다고 가정할게요 함께 풀어봅시다 이런 유형의 어떤 문제든 멱급수를 최소한만 전개하여 어떻게 생겼는지 파악합니다 이 식을 전개하면 n=0일 때 이것은 1이고 이것도 1이므로 그냥 1입니다 n=1일 때 이것은 -1·x^6/2! 입니다 이것은 -1·x^6/2! 입니다 n=2일 때 이것은 양수가 됩니다 (-1)² = 1 이므로 x^12/4! 입니다 하나만 더 해보죠 n=3일 때 -x^18/6! 입니다 -x^18/6! 입니다 이런 식으로 진행됩니다 함수를 바로 알 수 없네요 특히, 삼각함수인지 말이죠 π/2가 삼각함수라는 단서라고 생각했는데 π/2가 삼각함수라는 단서라고 생각했는데 π/2가 삼각함수라는 단서라고 생각했는데 딱히 나오는 것이 없습니다 하지만 이 항들은 수상쩍게 친숙합니다 멱급수 혹은 cosx의 매클로린 급수와 이상하게 비슷합니다 이전에 몇 번 보았죠 무엇이었는지 상기시켜 봅시다 아직 낯설다면 이전 강의에서, cosx의 매클로린 급수에 대하여 자세하게 설명해 놓았으니 확인해 보세요 cosx의 매클로린 급수는 항 몇 개를 적어볼게요 다음 식에 근사합니다 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! 1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! 위 식과 유사하다는 것을 발견할 수 있습니다 첫 번째 항은 같고 부호도 마이너스, 플러스, 마이너스로 부호도 마이너스, 플러스, 마이너스로 2!, 4!, 6!도 같습니다 제곱수만 다릅니다 x의 지수 말이죠 이 식은 x²이고 이 식은 x^6입니다 이 식은 x⁴이고 이 식은 x^12입니다 이 식은 x^6이고 이 식은 x^18입니다 그렇다면 여러분이 생각할 문제가 있습니다 x 대신 다른 것을 대입하면 어떨까요? 어떤 것도 바꿀 수 있습니다 cosx에서 x 대신 a+b로 바꾸면 이 식의 모든 x 대신 a+b로 바꿀 수 있습니다 x의 거듭제곱을 넣어 위 식과 같게 만들어줄 수 있나요? x^6은 (x³)² 입니다 (x³)² 입니다 x^12는 (x³)⁴ 입니다 x^18은 (x³)^6 입니다 따라서 x 대신 x³을 대입하면 이 멱급수가 됩니다 어떻게 하냐고요? cosx³을 구하면 됩니다 다른 색으로 하죠 cos, 색은 그대로 cosx³은 보이는 모든 x에 x³을 대신 대입하여 구합니다 1 - ( )²/2! 1 - ( )²/2! 녹색으로 하죠 녹색으로 하죠 다음과 같습니다 1 - ( )²/2! + ( )⁴/4! - ( )^6/6! 1 - ( )²/2! + ( )⁴/4! - ( )^6/6! 1 - ( )²/2! + ( )⁴/4! - ( )^6/6! 보라색으로 해보면 cosx³을 구해야 하므로 괄호 안의 값은 x³ 입니다 따라서 (x³)² 그리고 (x³)⁴ 그리고 (x³)^6 입니다 이 식과 똑같습니다 따라서 이 멱급수는 cosx³과 같습니다 x=³√(π/2)일 때 식을 계산하는 것은 x=³√(π/2)일 때 cosx³을 계산하는 것입니다 재밌네요 한번 적어봅시다 n=0부터 ∞까지의 합이고 (-1)ⁿ·x^(6n)/(2n)! 입니다 (-1)ⁿ·x^(6n)/(2n)! 입니다 이 멱급수는 cosx³과 같습니다 따라서 x=³√(π/2)일 때 이 식을 계산하면 cosx³에 x=³√(π/2)을 대입하면 됩니다 깔끔하게 계산되겠네요 세제곱근에 세제곱을 하면 좋은 일이 생깁니다 cos(³√(π/2))³은 cos(³√(π/2))³은 cos(π/2)이고 즉, 0입니다 이상입니다