If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:11:27

오일러의 공식 그리고 오일러의 등식

동영상 대본

지난 시간에 e^x에 매클로린 전개를 하였고 이는 cosx와 sinx의 근사 다항식의 조합과 비슷하게 생긴 것도 확인했습니다 하지만 그렇지는 않습니다 마이너스 부호가 있기 때문이죠 이 둘을 더하면 e^x의 근사식과 다릅니다 하지만 이들을 조화시키면 속임수로 생각할지도 모르겠습니다 e^x를 다항식으로 전개하면 e^x를 다항식으로 전개하면 e^x가 이 식과 동일하다면 항의 개수가 무한대로 되면서 근사가 아닌 등식이 된다면 근사가 아닌 등식이 된다면 e^ix는 무엇일까요? 하기 꺼려질 수도 있습니다 적어볼게요 e^ix 그 전에 e^ix을 어떻게 정의하죠? 그 전에 e^ix을 어떻게 정의하죠? 어떤 수의 거듭제곱이 ix인 것은 좀 특이한데요 이런 유형의 함수를 어떻게 이해할 것인가요? 이런 유형의 함수를 어떻게 이해할 것인가요? 하지만 e^x의 다항식 전개를 알고 있으므로 느낌이 올 것입니다 제곱수가 다른 항에 i를 대입하면 i² = -1, i³ = -i 이런 식으로 됩니다 그렇다면 e^ix는 무엇일까요? 여기 x를 ix로 바꿉니다 여기 x를 ix로 바꿉니다 다항식에 있는 모든 x를 ix로 바꿉니다 해봅시다 따라서 e^ix을 다음과 같이 근사합니다 이것은 더 같게 만들어지고 여러분에게 직관을 줄 것입니다 엄격하게 증명을 하진 않겠지만 여전히 심오합니다 과장하는 것이 아니라 이 강의에서 발견되거나 보여지는 것에 대해 과장할 수 없을 것 같습니다 이는 1 + x 대신 ix (ix)²은 무엇일까요? 적어볼게요 (ix)²/2!은 무엇일까요? i² = -1이므로 -x²/2! 입니다 -x²/2! 입니다 어떻게 될지 보일 것 같습니다 (ix)³은 무엇일까요? 이 식의 모든 x 대신 ix로 바꿉니다 (ix)³은 무엇일까요? 적어볼게요 생략하지 않겠습니다 (ix)²/2! 다시 하겠습니다 (ix)²/2! (ix)³/3! (ix)⁴/4! 계속 진행합니다 (ix)^5/5! 계속 진행합니다 (ix)^5/5! 이렇게 계속 더합니다 ix의 거듭제곱들을 계산해 봅시다 ix의 거듭제곱들을 계산해 봅시다 1 + ix (ix)²은 i²과 x²의 곱입니다 i² = -1 이므로 -x²/2! 이것은 i³과 x³의 곱입니다 이것은 i³과 x³의 곱입니다 i³은 i² × i 입니다 따라서 -i 입니다 -ix³/3! -ix³/3! 다음 항을 계산합니다 i⁴은 무엇일까요? (i²)² 입니다 (-1)² = 1 입니다 (-1)² = 1 입니다 따라서 i⁴ = 1 이고 x⁴/4!이 있습니다 x⁴/4!이 있습니다 다음 항을 계산해 봅시다 i^5을 계산합니다 i^5 = 1 × i 이므로 ix^5/5! 입니다 ix^5/5! 입니다 ix^5/5! 입니다 패턴이 보이네요 계수가 1, i, -1, -i, 1, i, -1 이므로 계수가 1, i, -1, -i, 1, i, -1 이므로 -x^6/6! 입니다 다음은 -ix^7/7! 입니다 다음은 -ix^7/7! 입니다 어떤 항에는 i가 곱해져 있습니다 어떤 항은 실수이고요 분리시켜 볼까요? 다시 한번, e^x는 무한하게 항을 더한 이 식과 같습니다 무한하게 항을 더한 이 식과 같습니다 실수와 실수가 아닌 항을 구별해 봅시다 실수항과 허수항으로 얘기해야 할 것 같네요 표시한 이 항들이 실수입니다 표시한 이 항들이 실수입니다 뒤에 이어서 계속 있겠죠 따라서 실수항은 1 - x²/2! + x⁴/4! 1 - x²/2! + x⁴/4! 뭔가 흥분되지 않나요? - x^6/6! 여기까지 하겠지만 뒤이어 계속 있습니다 이들은 실수항입니다 허수항을 구해봅시다 i를 빼내겠습니다 i를 빼내겠습니다 + i 이 항은 ix이므로 x가 됩니다 다음 허수항은 이 항입니다 다음 허수항은 이 항입니다 i를 빼내면 -x³/3! 다음 허수항은 이 항입니다 + x^5/5! 다음 허수항은 이 항입니다 i를 빼내면 -x^7/7! 입니다 이렇게 계속 진행됩니다 부호가 바뀌면서 계속 진행됩니다 무한대로 항이 늘어날수록 근사하기 더 좋아집니다 따라서 e^(ix)는 이 식입니다 지난 두 강의에서 여기 이 실수부는 x=0에서의 매클로린 근사 혹은 테일러 근사입니다 매클로린 근사로 불러도 됩니다 매클로린 근사로 불러도 됩니다 따라서 이 두 식은 동일합니다 이것은 cosx입니다 항을 무한히 더하면 cosx가 됩니다 이 식은 sinx와 똑같습니다 따라서 cosx와 sinx를 합해서 어떻게 e^x가 나오는지 알 수 있을 것 같습니다 이 식은 sinx입니다 이것을 당연하게 여긴다면 엄격하게 증명하지 않겠습니다 항을 무한히 더하면 cosx가 되고 이 식에서 항을 무한히 더하면 sinx가 됩니다 엄청난 공식이 나왔습니다 e^ix = cosx + isinx e^ix = cosx + isinx e^ix = cosx + isinx e^ix = cosx + isinx e^ix = cosx + isinx 오일러 식입니다 흥분되지 않나요? 그래야만 합니다 엄청난 것들을 했습니다 e는 연속 복리에서 나온 수입니다 e는 연속 복리에서 나온 수입니다 cosx와 sinx는 단위원의 직각삼각형에서의 비입니다 √(-1)을 넣었을 뿐인데 √(-1)을 넣었을 뿐인데 멋진 관계식이 나왔네요 그런데 더 멋진 것이 있습니다 단위를 라디안이라고 한다면 오일러 식에서 x=π일 때 무슨 일이 생길까요? 다른 희한한 값이 주어졌습니다 원의 원주와 지름 사이의 비이죠 원의 원주와 지름 사이의 비이죠 x=π일 때 어떻게 될까요? e^(iπ) cosπ는 무엇이죠? π는 단위원을 반바퀴 돈 것이므로 cosπ = -1이고 sinπ는 0이므로 이 항은 사라집니다 π를 대입하면 놀라운 것이 나옵니다 오일러 항등식입니다 오일러는 발음이 어렸습니다 오일러 항등식은 다음과 같습니다 아니면 양변에 1을 더하여 이렇게 나타낼 수도 있습니다 강조를 위해 다른 색을 이용할게요 e^(iπ) + 1 중립적인 색을 쓸게요 이 식에서 양변에 1을 더한 결과 e^(iπ) + 1 = 0 입니다 짜증나게 생겼네요 완전히 이해되지 않는 저조차도 이해되지 않는 무언가 연관성이 있습니다 무언가 연관성이 있습니다 i는 모든 종류의 다항식의 근을 구할 수 있도록 단순성을 위해 엔지니어들이 정의한 것입니다 이는 √(-1)이기도 합니다 π는 원의 원주와 지름 사이의 비입니다 π는 원의 원주와 지름 사이의 비입니다 i처럼 다른 곳에서 유래한 것처럼 보이는 흥미로운 수가 있습니다 e는 다른 여러곳에서 왔습니다 e는 또한 금융에서 매우 가치있는 연속 복리에서 나왔습니다 e^x의 도함수가 e^x인 개념도 있죠 e^x의 도함수가 e^x인 개념도 있죠 흥미로운 또 다른 수입니다 하지만 i, π와 관련이 없는 것처럼 보입니다 하지만 i, π와 관련이 없는 것처럼 보입니다 하지만 i, π와 관련이 없는 것처럼 보입니다 물론 기본적인 수도 있습니다 물론 기본적인 수도 있습니다 1이 왜 멋진 수인지 굳이 설명하지 않겠습니다 0도 마찬가지로 설명을 생략하겠습니다 여기 이 기본적인 수들을 신비로운 방법으로 연결하여 우주와 어떤 연관성이 있는지 보여줍니다 우주와 어떤 연관성이 있는지 보여줍니다 솔직히 말해서 이 식을 보고도 설레지 않는다면 여러분은 감정이 없는 것입니다