적분 판정법

1/n²을 n의 값이 1부터 무한대까지 더한 무한 급수를 조금 더 살펴봅시다 1/n²을 n의 값이 1부터 무한대까지 더한 무한 급수를 조금 더 살펴봅시다 이 무한 급수의 값은 1에 1/2²인 1/4을 더하고 1/9인 1/3²을 더하고 1/16을 더하고 이런 식으로 계속 더한 값과 같습니다 우리가 알아야 할 몇가지 것들이 있습니다 첫 번째로 모든 항들이 양수라는 것입니다 따라서 여기있는 모든 항들이 양수입니다 그리고 항들의 값이 감소합니다 1부터 1/4, 1/9, 1/16까지 항들이 꽤 빨리 감소하는 것 같습니다 1부터 1/4, 1/9, 1/16까지 항들이 꽤 빨리 감소하는 것 같습니다 항들이 빠르게 0에 가까워지는데 이것은 수렴할 가능성을 갖는다는 매우 좋은 느낌이 들게 합니다 이것은 수렴할 가능성을 갖는다는 매우 좋은 느낌이 들게 합니다 항들이 모두 양수이기 때문에 만약 수렴한다고하면 여기 있는 합은 0보다 클 것입니다 수렴하지 않을거라는 단 하나의 이유는 만약 어쩌다가 무한대로 계속 향한다면 만약 식이 1/n이라고 하면 무한대로 계속 향할거라는 것을 알고 있기 때문입니다 따라서 수렴할 가능성이 있다는 것을 알 수 있습니다 만약 유계라는 것을 보일 수만 있다면 왜 이 식이 수렴하는지에 대한 좋은 근거가 될 것입니다 왜냐하면 발산하는 단 하나의 이유는 양의 무한대나 음의 무한대로 향할 때입니다 양의 무한대나 음의 무한대로 향할 때입니다 이 식이 음의 무한대로 향하지 않을 것이라는 것은 이미 알고 있습니다 왜나하면 모든 항이 양수이기 때문입니다 또는 진동하면 발산하는데 이 식은 진동하지는 않을 것입니다 왜냐하면 모든 항을 더해가고 어떤 항도 음수가 아니기때문에 제거되지 않기 때문입니다 왜 이 합이 유계인지에 대한 좋은 근거를 알아봅시다 왜 이 합이 유계인지에 대한 좋은 근거를 알아봅시다 특히 경계를 찾아낸다면 무한 급수가 수렴한다는 좋은 근거가 됩니다 무한 급수가 수렴한다는 좋은 근거가 됩니다 그리고 우리가 하려고하는 방법은 관련된 함수를 살펴보고자 합니다 제가 하고 싶은 것은 f(x) = 1/x²를 살펴보는 것입니다 이 식에서 1/n²을 f(n)으로 볼 수 있습니다 제가 이런식으로 썼다면 말이죠 왜 이것이 흥미로울까요? 그래프로 나타내봅시다 y=f(x) 그래프입니다 연속이고, 양수이고, 감소하는 함수임을 주목해주세요 특히 이 구간 제가 관심 갖는 이 부분을 주목해주세요 x의 양의 값에 대해 연속이고, 양수이고, 감소하는 함수라고 할 수 있습니다 그리고 흥미로운 것은 이것을 여기있는 이 넓이를 추산하는데 사용할 수 있습니다 무슨 의미 일까요? 이 식의 첫 항인 1은 여기있는 이 사각형의 넓이라고 볼 수 있습니다 여기있는 이 사각형의 넓이라고 볼 수 있습니다 이것은 f(n) 또는 높이가 f(1)이고 너비가 1이라고 할 수 있습니다 따라서 1과 1/1²의 곱 또는 1이 될 것입니다 제가 다른 색깔을 사용하고 있는지 확인해볼께요 여기있는 이 항은 이 사각형의 넓이를 나타내는데 높이가 1/4이고 너비가 1입니다 따라서 넓이는 1/4이 됩니다 이것은 무엇을 나타낼까요? 우리가 구하고자하는 다음 사각형의 넓이는 이 곡선 아래의 넓이입니다 이것은 살펴본 적이 있을텐데 우리가 처음 적분을 접했을 때 또는 그 보다 먼저 적분과 리만 합을 접했을 때 입니다 따라서 여기 있는 이 넓이는 1/9와 같습니다 아주 흥미로운 사실은 정확한 넓이는 구하는 법을 안다는 것입니다 x가 1부터 무한대 까지의 넓이말입니다 이 사실을 어떻게든 사용할 수 있을 것입니다 여기있는 이 넓이를 알 수 있는데요 1부터 무한대까지 f(x)dx의 이상적분으로 나타낼 수 있습니다 1부터 무한대까지 f(x)dx의 이상적분으로 나타낼 수 있습니다 이미 거기까지는 알고 있고 조금 있다가 계산해보겠습니다 만약 이미 알고 있다면 만약 상한값을 계산할 수 있다면 1/4 더하기 1/9 더하기 1/16 더하기 등등에 대한 상한값을 계산할 수 있다면 이 급수가 향하는 값의 경계값을 구할 수 있을 것입니다 앞에서 말한대로 이러한 사실은 이 급수의 수렴에 대한 좋은 근거가 됩니다 여기있는 모든 점에 대해서 엄밀한 증명을 하려는 것이 아니라 기본적인 개념에 대해 이해시키는 것이고 수렴과 발산에 대해 아주 잘 알려진 테스트로 수렴과 발산에 대해 아주 잘 알려진 테스트로 적분판정법이라고 불리는 테스트입니다 참고로 여기에 적어봅시다 이것은 정신적인 토대같은 것입니다 무엇을 뜻하는 걸까요? 합을 다시 적어보는데요 이전과는 조금 다르게 적어봅시다 원래의 급수는 n이 1부터 무한대까지 1/n²의 합입니다 이 급수는 여기있는 첫번째 블록 첫번째 블록의 넓이에 나머지 모든 블록들의 넓이를 더한 것과 같습니다 1/4 더하기 1/9 더하기 1/16 새로운 색을 사용해봅시다 나머지 모든 블록들의 넓이는 n은 2부터 무한대까지 1/n²의 합으로 나타낼 수 있습니다 따라서 이 급수를 1과 나머지 모든 값들의 합으로 나타내었습니다 흥미로운 것은 방금 파란색으로 적은 이 식이 이 블록 더하기 이 블록 더하기 다음 블록으로 여기 오른쪽에 있는 정적분 값보다 작아집니다 여기 오른쪽에 있는 정적분 값보다 작아집니다 이 정적분은 너무 적게 잡은 값으로 항상 곡선보다 아래에 있기때문에 정적분 값보다 작아집니다 이제 이 식을 다음과 같이 적을 수 있는데 1 더하기 급수로 적는 대신 정적분으로 적으면 이 식보다 작아집니다 1일 더하기 1부터 무한대까지 1/x² dx의 정적분입니다 왜 이것이 유용할까요? 이 정적분을 계산하는 것을 알고 있을텐데요 칸 아카데미의 이상적분에 대한 섹션을 참고하시기 바랍니다 이 부분이 생소하다면 말입니다 하지만 여기에 아래에 계산해보겠습니다 이 식은 이 극한값과 같다는 것을 알 수 있습니다 여기서 변수를 사용하려고 하는데요 1 부터 t까지 정적분의 t가 무한대로 갈 때의 극한값입니다 이 식을 x의 -2 제곱 dx로 적겠습니다 이 식을 x의 -2 제곱 dx로 적겠습니다 이 식은 t가 무한대로 갈 때 마이너스 x의 -1 제곱의 극한값과 같은데 실은 이 식을 -1/x로 적을 수 있습니다 이제 이 식을 t와 1에서 계산하려고 하는데요 t가 무한대로 갈 때 -1/t에서 -1/1을 뺀 극한값과 같습니다 따라서 +1이 됩니다 t가 무한대로 갈 때 여기 있는 이 항은 1이 되기때문에 이 식은 1로 간단해집니다 따라서 이 전체 값이 1로 계산되고 이 급수의 상한을 구할 수 있었습니다 이 급수의 상한을 구할 수 있었습니다 문제로 주어진 이 급수에 대해 말할 수 있는데 n이 1부터 무한대까지 1/n²의 무한 합은 1 더하기 1 또는 2보다 작아집니다 또는 다른 방법으로 생각해보면 이 부분의 넓이는 2가 됩니다 여기 있는 이 부분인 1에 이 부분의 넓이를 더한 것입니다 이 합은 2보다 작다고 할 수 있고 따라서 위로 유계입니다 따라서 이 급수는 양의 무한대로 갈 수 없다는 것을 알 수 있습니다 모든 향이 양수이기 때문에 확실히 음의 무한대로 가진 않을 것입니다 그리고 모든 향이 양수이기 때문에 두가지 다른 값 사이를 진동하지 않을 것을 알 수 있습니다 따라서 이 급수가 수렴할 것이라는 아주 좋은 느낌을 줍니다 따라서 이 급수가 수렴할 것이라는 아주 좋은 느낌을 줍니다 왜 이 급수가 수렴하는지를 주장하기 위해 사용한 논리는 다시 한번 말하지만 엄밀한 증명이 아니라 적분판정법의 근본적인 논리입니다