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예시: 적분 판정법

동영상 대본

이제 자신에게 설명해봅시다 어쩌면 적분 판정법에 대해 더 엄밀한 정의를 내린다고 할 수 있겠네요 적분 판정법 말입니다 적분 판정법은 k를 포함하여 k부터 무한대까지 양의 값을 가지고 연속이고 감소하는 연속이고 감소하는 연속이고 감소하는 f(x)의 값을 알고 있다고 가정할 때 두 사실 중 하나를 알 수 있습니다 만약 이 이상적분이 수렴한다면 수렴한다면 n=k부터 무한대까지의 무한급수 또한 수렴한다는 것을 알 수 있습니다 수렴한다는 것을요 그리고 이것은 사실 1/n²을 배웠을 때 보았던 경우입니다 그러나 잠시 후에 보도록 하죠 하지만  적분 판정법을 통해 할 수 있는 두 번째 주장 또는 두 번째 추측은 두 번째 주장 또는 두 번째 추측은 반대의 경우일때 입니다 즉 만약 k부터 무한대까지의 이상적분이 발산한다면 대응하는 무한급수도 발산합니다 대응하는 무한급수도 발산합니다 그럼 여기 있는 무한급수 또한 그럼 여기 있는 무한급수 또한 발산할 것입니다 그리고 저번 영상에서 언급했다시피 이미 이것을 f(x)=1/x²의 경우에서 보았습니다 1에서 무한대까지 f(x)=1/x²의 적분이 수렴할 때 그 값이 1이라는 것을 말입니다 그 값이 1이라는 것을 말입니다 따라서 n=1부터 무한대까지 1/n² 을 더한 값 역시 수렴한다는 것을 알 수 있었습니다 수렴한다는 것을 알 수 있었습니다 그리고 이제 반대의 경우의 예시를 볼 수 있죠 이 적분으로 시작해 봅시다 이 적분으로 시작해봅시다 이 적분으로 시작해봅시다 f(x)=1/x²이 아닌 f(x)=1/x의 1부터 무한대까지의 적분으로 말입니다 f(x)=1/x의 1부터 무한대까지의 적분으로 말입니다 실제로 적어보겠습니다 그냥 f(x)=1/x로 시작해 봅시다 그것은 양의 값을 가진다는 조건을 틀림없이 만족합니다 그리고 1부터 무한대까지의 구간에서 그리고 1부터 무한대까지의 구간에서 생각해봅시다 생각해봅시다 이 구간에서 1/x는 양의 값을 가지고 연속이며 감소합니다 따라서 1/x이 정리의 첫 번째 가정을 만족시킵니다 x가 증가하면서 f(x)는 감소합니다 따라서 적분 판정법을 적용할 수 있습니다 그래서 1에서 무한대까지 이 이상적분이 무엇이 되는지 봅시다 자 이렇게 해봅시다 만약 1부터 무한대까지 1/x를 적분한다면 이것은 t가 발산할때 1부터 t까지 1/x의 정적분값의 극한과 같다고 할 수 있습니다 또한 t가 발산할때 부정적분을 취해서 또한 t가 발산할때 부정적분을 취해서 1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다 1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다 1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다 사실 x의 절댓값이지만 x가 양수이기 때문에 그냥 lnx가 될 것입니다 이것은 t가 무한대에 다가갈 때 lnt의 극한과 같습니다 또는 t가 양수이기 때문에 또는 t가 양수이기 때문에 lnltl는 lnt이고 위 식은 lnltl-ln1이라고도 할 수 있습니다 lnltl-lnl1l 말입니다 ln1은 0이므로 식은 lnt가 될 것입니다 그 극한은 무한대에 가까워집니다 t가 무한대까지 커질 때의 극한은 발산할 것이고 그 극한은 무한대로 갈 것입니다 따라서 여기 있는 값은 발산합니다 이 값은 발산합니다 그리고 이 값이 발산하므로 적분 판정법을 적용해보면 적분 판정법을 적용해보면 주어진 함수가 이 구간에서 양수이고 연속이고 감소하므로 그리고 이 이상적분이 발산하므로 적분 판정법의 두 번째 정리에 의해 이렇게 말할 수 있을 것인데 엄밀히 증명하지는 않았지만 이전 영상에서 좋은 직관적 설명을 든 적이 있습니다 바로 n이 1부터 무한대까지 1/n의 바로 n이 1부터 무한대까지 1/n의 무한급수 즉 조화급수가 또한 발산한다는 것이죠 또한 발산한다는 것이죠 Oresme의 증명을 이용해 조화급수는 발산한다는 것을 보였습니다 비교 판정법을 사용했어도 비교 판정법을 사용했어도 이것과 매우 비슷하게 그것이 또한 발산한다는 것을 보이기 위해 적분 판정법을 이용하였습니다 그리고 다시 한번 적분 판정법의 동기가 무엇인지 기억해 봅시다 f(x)=1/x의 그래프를 그려 보겠습니다 f(x)=1/x의 그래프를 그려 보겠습니다 최선을 다해보겠습니다 이것이 1,2,3이고 이것이 1,2라고 했을 때 x=1이면 f(x)=1이고 x=2이면 f(x)=1/2 또는 1/3입니다 만약 여기서 1/2이라면 여기 이것은 2가 될 것입니다 따라서 이렇게 그려집니다 따라서 이것이 f(x)=1/n의 그래프입니다 그리고 다시 한번 1부터 무한대까지의 구간을 살펴보면 분명히 양의 값을 가지고 연속이면서 감소하는 것을 볼 수 있습니다 그리고 이 총합을 보면 이 총합을 잠시 적을 시간을 주시기 바랍니다 따라서 n이 1부터 무한대까지 1/n의 총합은 1+1/2+1/3 그리고 쭉 계속됩니다 1+1/2+1/3 그리고 쭉 계속됩니다 그 총합이 발산한다는 것을 보여주고 싶기 때문에 총합은 여기 이 넓이의 여기 이 넓이의 큰 근삿값라고 할 수 있습니다 여기 이 넓이의 큰 근삿값라고 할 수 있습니다 여기 이상적분이 나타내는 초록색 영역이 있습니다 초록색 영역이 있습니다 그것은 1부터 무한대까지 1/x의 이상적분입니다 그것은 1부터 무한대까지 1/x의 이상적분입니다 이제 이것을 그 넓이의 큰 근삿값이라고 볼 수 있을 겁니다 그래서 첫 번째의 바로 여기 있는 이것은 가로x세로 즉 이 막대를 말하는 것이죠 가로x세로 즉 이 막대를 말하는 것이죠 그 넓이는 1과 같을 것입니다 그 넓이는 1과 같을 것입니다 그럼 여기의 1/2은 그 다음 막대의 넓이라고 할 수 있을 것입니다 그래서 이것을 왼쪽 리만 합으로 생각해볼 수 있습니다 생각해볼 수 있는 한 가지 방법인 것 같습니다 그리고 이것이 1/2이 될 것이고 네 왼쪽 리만 합이 됩니다 따라서 이것은 1/2이 될 것입니다 그럼 1/3은 이것이 될 것입니다 저는 막대들과 넓이 사이의 관계를 발견했습니다 사실상 구하고자 하는 넓이는 즉 이상적분의 값은 모두 이 막대들 안에 포함되어 있습니다 따라서 이것은 이상적분 값보다 클 것이지만 따라서 이것은 이상적분 값보다 클 것이지만 이미 이것이 발산한다는 것을 알고 있습니다 이것은 발산합니다 따라서 이것이 이것보다 크다면 그리고 이것이 발산한다면  이것 또한 무한대로 발산합니다 그럼 이 총합 또한 무한대로 발산할 것이겠죠 그럼 이것이 바로 적분 판정법의 유래입니다