예제: 등비급수의 발산

여기 무한급수가 있습니다 등비급수처럼 보이네요 초항에서 둘째 항으로 갈 때 －3이 곱해지고 그 다음 항으로 가려면 －3이 또 곱해져야 합니다 공비가 －3인 것 같군요 그래서 이 급수를 다시 쓰면 －0.5에 (－3)⁰을 곱한 것 (－3)⁰을 곱한 것으로 쓸 수 있습니다 ＋(－0.5) 말고 이렇게 씁시다 (－0.5)×(－3)¹ －0.5 －0.5 (－0.5)×(－3)² (－0.5)×(－3)² 이 과정을 계속합니다 계속 －0.5에 －3을 지수를 하나씩 늘리며 곱해 나갑니다 시그마 표기법으로 써보죠 그럼 위의 식은 n이 0에서 무한대까지 무한히 계속 가면서 초항은 이것인데 －3이 몇 제곱으로 곱해지는 것이라고 생각하면 됩니다 그래서 －0.5이고 노란색으로 쓸게요 그래서 (－0.5)×(－3) 파란색으로 쓸게요 (－0.5)×(－3)ⁿ 위 식에서 초항은 n=0 둘째 항은 n=1 셋째 항은 n=2인 경우입니다 이렇게 다양한 방법으로 이 급수를 쓸 수 있습니다 이 급수가 수렴하는지 알아보죠 공비가 －3이므로 r = －3이고 제일 먼저 생각해볼 것은 이 급수가 수렴하려면 이 공비의 크기 또는 공비의 절댓값이 1보다 작아야 합니다 －3의 절댓값은 무엇이죠 |－3| = 3인데 이게 1보다는 당연히 작지 않죠 그래서 이 급수는 수렴하지 않습니다 수렴하지 않죠 맨 위 식을 직관적으로 바라봐도 각 항의 크기가 계속 커지기 때문에 덧셈과 뺄셈이 반복되어도 계속 커지는 값들을 더하고 빼게 됩니다 직관적으로 수렴하는 급수에서는 항들이 뒤로 갈수록 작아지거나 항끼리 값이 같은 부분이 있어 서로 상쇄가 됩니다 그러나 공비의 절댓값이 1이거나 1보다 큰 이 상황에서 이 급수는 특정 값으로 수렴하지 않습니다