급수의 수렴 & 발산 (식의 변형)

세 개의 급수가 있으며 영상을 멈추고 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 구해봅시다 같이 풀어봅시다 복습을 하자면 수렴은 무한대 개수의 항을 더한다고 해도 수렴을 하면 무한대 개수의 항의 합은 유한하다는 것입니다 합은 유한하다는 것입니다 이는 정말 대단하죠 그리고 발산은 무한한 항들의 합이 유한하지 않은 값이 나온다는 것입니다 어떻게 구할까요? 등비급수에 대해 이미 알고 있으며 이는 등비급수처럼 보입니다 따라서 아는 정보를 사용해 풀어봅시다 등비급수는 이를 적는 방법은 주로 이는 n = 0에서 시작합니다 하지만 어떤 상수에서 시작한다고 합시다 그리고 이는 ar^n이 무한대로 갑니다 r은 공비이며 이를 이전 영상에서 다루었습니다 이는 등비급수를 적는 일반적인 방법입니다 r의 절댓값은 0과 1 사이라면 이 값은 수렴합니다 그렇지 않다면 else 라고 적을게요 발산합니다 따라서 좋은 방법은 이 식을 다시 적어서 각 항을 n이 증가할 수록 나타낼 수 있는 방법이 있다면 공비를 구할 수 있고 수렴을 하는지 발산을 하는지 봅니다 따라서 여기 이 부분에 집중을 하겠습니다 이를 적을 수 있는지 봅시다 다시 적을 수 있나요 5^n-1 이를 다시 적으면 5^n 곱하기 5^-1 곱하기 9/10^n입니다 따라서 이는 이는 이 부분을 적으면 1/5 이는 5^-1 곱하기 5^n 그리고 9/10^n입니다 동일한 지수가 있기 때문에 다시 적어보면 그리고 모든 수를 곱하면 순서를 바꿉니다 이는 5 곱하기 9/10^n입니다 따라서 이는 1/5곱하기 5x9는 45이며 10으로 나누면 4.5입니다 따라서 곱하기 4.5^n 따라서 원래 급수는 n = 2에서 시작하여 무한대로 갑니다 이는 1/5 x 4.5^n입니다 그렇다면 공비 r은 무엇인가요? 이는 4.5입니다 4.5는 0과 1 사이에 있지 않습니다 이 경우는 발산합니다 이 사실이 흥미롭다면 그리고 처음에 풀지 못했다면 영상을 멈추고 영상을 다시 멈추고 혼자서 풀어보세요 예제를 보았으니까요 이제 풀어봅시다 따라서 대수학적으로 해결을 하여 이 형태로 나타내겠습니다 해봅시다 이를 다시 적으면 n 제곱인 항들을 구할 수 있다면 따라서 3/2^n과 같이 다시 적을 수 있고 여기 이 부분을 곱하기 1/9^n으로 적을 수 있습니다 이 값은 3/2^n과 같습니다 그리고 (1/9)^2으로 묶을 수 있으며 해봅시다 이를 1/81로 적으며 여기에 적습니다 따라서 이는 이 값입니다 1/81 곱하기 3/2^n 곱하기 1/9^n입니다 하지만 1/9^n은 (1/9)^n과 같습니다 이를 한 이유는 이 두 값의 n제곱이 있기 때문에 여기서 했던 것을 똑같이 할 수 있습니다 따라서 이 모든 값은 1/81 곱하기 3/2 곱하기 1/9의 n제곱입니다 멱의 법칙을 사용하여 정리한 것입니다 따라서 이는 1/81 곱하기 3/2 곱하기 1/9은 3/18이며 1/6입니다 곱하기 1/6의 n제곱입니다 원래의 급수를 써보면 n = 5부터 무한대까지의 합을 구하는 것이고 이는 1/81 곱하기 1/6의 제곱입니다 따라서 공비가 1/6입니다 하늘색으로 1/6을 적어봅시다 절댓값이 0과 1 사이이며 이 경우 수렴합니다 마지막 문제를 풀어봅시다 이 문제는 빨리 풀어볼게요 봅시다 식을 대수학적으로 이 부분을 정리하면 이는 2^n 곱하기 1/3^n 곱하기 3^-1과 같습니다 이 식은 2^n 곱하기 =가 아니죠 곱하기 1/3^n입니다 그리고 1/3^n은 1 나누기 1/3이며 3곱하기 3입니다 이 값은 더 넓은 공간을 쓰겠습니다 이 값은 3을 앞으로 빼면 3 곱하기 2^n 곱하기 1/3^n은 (1/3)^n과 같습니다 따라서 이는 3 곱하기 2 곱하기 1/3의 n 제곱입니다 따라서 이는 3 곱하기 2/3^n입니다 따라서 이 부분을 간단히 해보면 3 곱하기 2/3의 n 제곱입니다 공비가 2/3죠 2/3의 절댓값은 0과 1의 사이에 위치합니다 따라서 다시 말하면 수렴합니다 다 풀었네요