무한등비급수 문장제: 공튀기기

공이있다고 해봅시다 높이 10m에서 던졌고 매번 공이 이전에 튀었던것의 반만큼이 다시 튑니다 그래서 예를 들어서 , 니가 10m에서 던졌다고 하면 다음번에 공의 최고높이는 5m가 됩니다 그래서 다음번에, 다음 튈때 -같은 오렌지색으로 그리겠습니다 그리고 다음 번 튀는 공은 5m가 됩니다 이 거리가 5m가 됩니다 그리고 나서 다음 번의 튀는거리는 이 높이의 반이 될것입니다 그래서 2와 1/2m가 됩니다 그리고 계속 합시다 그래서 이것이 2와 1/2m가 여기서 됩니다 이 동영상에서 생각하고자 하는 것은 전체 공이 움직이는 전체 수직거리가 얼마인가 입니다 그래서 이것에 대해 생각해봅시다 그래서 먼저 공이 10m를 떨어질것입니다 이렇게 공이 10m떨어지것입니다 그리고 나서 공이 10m의 반을 두번 움직일것입니다 10m의 반인 5m를 올라갈 것이고 그리고나서 10m의 반을 내려올 것입니다 여기에 적겠습니다 그래서 각각의 이것이 10m가 됩니다 사실 여기에 단위를 적으면 안됩니다 단위를 없애겠습니다 깔끔하게 적겠습니다 다시한번 첫번째 튀는공은 10m를 내려가고 그리고나서 다음 튀는 공은 10×1/2 올라가고 10×1/2 내려갑니다 우리가 전체 수직거리를 계산한다는것을 기억하세요 우리는 방향을 생각하지않습니다 그래서 공이 10×1/2인 5m 올라갈 것이고 그리고 5m내려옵니다 그래서 총 10의 수직거리를 움직입니다 5 위로 5 아래로 그럼 이 튀긴공은 얼마만큼 움직인 것일까요? 여기서 공은 저번 튄것의 반만큼 갑니다 그래서 10×(1/2)^2 만큼 올라가고 그리고나서 10×(1/2)^2 만큼 내려옵니다 여기서 패턴을 찾을 수 있습니다 이것은 등비급수 처럼 엄청 많습니다 즉 무한등비급수입니다 공은 계속 영원히 움직일 것입니다 전형적인 등비급수처럼 보이도록 이것을 지우겠습니다 전형적인 등비급수처럼 보이도록 이것을 지우겠습니다 이것을 간략하게 하고싶다면 이것을 다시적을 수 있습니다 10 더하기 20×(1/2)^1더하기 10×1/2 10×(1/2)^2+10×(1/2)^2 는 20×(1/2)^2가 됩니다 그리고 계속 해보겠습니다 만약 여기에 20이 있다면 더 간략하게 될것입니다 만약 여기에 20이 있다면 더 간략하게 될것입니다 우리가 할 수 있습니다 우리가 10을 -10+20으로 적을 수 있습니다 그리고 뒤에 모든 것을 여기 적으면 됩니다 복사해서 붙이겠습니다 그래서 여기서 + 뒤의 것 우리는 이것을 먼저 적을 수도 있습니다 우리는 20을 20×(1/2)^0로 적고 더하기 뒤의 것이라고 적을 수도 있습니다 이제 명백하게 무한등비급수 같네요 이제 명백하게 무한등비급수 같네요 우리는 전체의 합을 적을 수 있습니다 그림들 지워지는 것을 원하지 않으니 여기에 적겠습니다 -10이라고 적고 바로 여기에 있는 -10입니다 더하기 k=0부터 무한까지의 합 20곱하기 공비의 k제곱 얼마가 될까요? 어떤 값이 나올까요? 우리는 벌써 여러 동영상에서 무한등비급수의 합을 유도했습니다 무한등비급수의 합을우리는 벌써 여러 동영상에서 무한등비급수의 합을 유도했습니다 ∑(합)k=0에서 무한 a(r^k) 는 a/(1-r)의 값과 같습니다 그래서 여기서 적용해봅시다 여기 식의 값은 20/(1-1/2)과 같습니다 그리고 이것은 20/(1/2)와 같습니다 그리고 이것은 20×2 즉 40과 같습니다 그래서 공이 움직인 전체 수직거리는 얼마일까요? 값은 -10+40 가 됩니다 그리고 이것은 30m와 같습니다 공이 움직인 전체 수직거리는 30m입니다