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주요 내용
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기하급수의 수렴 구간

동영상 대본

우리가 저번 영상에서 이야기 했던대로 우리는 많은 예시를 봐 왔습니다 기하급수에서 공비를 구하고 그 공비의 절대값이 1보다 작을 때 그 총합이 무엇이 될지에 대해 말이죠 우리는 저번 영상들을 통해 이 공식을 증명했습니다 이번에는 다른 방향으로 접근해 봅시다 함수를 잡아봅시다 h(x)=1/(3+x^2)라 하고 이제 이 식을 여기에 대입해 봅시다 대입하면 우리는 a와 공비의 값을 생각해 볼 수 있습니다 이제 이를 바탕으로 실제 기하급수로 나타내 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 지금 직접 해보는 것을 추천드립니다 자, 이제 봅시다 아마 여러분이 가장 먼저 눈치채셨을 것은 a가 1이 아니라 3이라는 것입니다 그럼 3으로 묶어 봅시다 그래서 이 식은 1/3(1+x^2/3)가 됩니다 그리고 분모에 3이 있으면 안되니까 이것을 1/3으로 생각할 수 있습니다 그래서 이제는 1/3가 분자가 되고 보라색으로 바꿔볼게요 분모에는 1 그리고 우리는 덧셈 하지 않고 공비를 뺄셈 해야 합니다 그래서 1 빼기 그리고 공비를 여기다 적고 1-(-x^2/3) 저 식을 이런 꼴로 나타내었으니까 우리는 그 총합이.. 이쪽에다가 쓸게요 새로운 색깔로 쓸게요 파란색으로요 n=0부터 무한대번째 항까지의 총합은 초항이 1/3이니까 1/3 곱하기 공비의 n제곱 공비는 (-x^2/3) 그리고 이것을 전개하면 그래서 첫번째 항은 1/3 곱히기 이거 전체의 0제곱이 됩니다 그래서 그냥 1/3이 되죠 그 다음항들은 그냥 이전 항에 공비를 곱한 것이 되겠죠 1/3 곱히기 (-x^2/3)는 1/9 x^2가 됩니다 이제 여기서 여기로 왔고 뭐를 곱하냐면.. 1/3 에서 -1/3 이제는 -1/3을 곱해야합니다 그리고 x^2까지 말입니다 그리고 그다음 항은 다시 (-x^2/3)를 곱합니다 이것은 +가 되겠네요. - 곱하기 - 는 +니까 1/27 x^4가 됩니다 x 제곱에 x 제곱을 곱하면 x의 4제곱이 되죠 이제 이것을 계속해서 하면 이게 수렴 반경 안에서 수렴할 때 이 식은 h(x)에 수렴하게 됩니다 그럼 여기에서 수렴 반경은 무엇일까요 잠시 동영상을 멈추고 스스로 생각해 보는 것을 추천드립니다 수렴반경은 공비의 절댓값이 1보다 작은 구간입니다 이 쪽에다 써 볼게요 (-x^2/3) 의 절대값은 1보다 작아야 합니다 이 식은 음수이므로 절대값은 이것은 이것과 같습니다 잠시만 아래로 내릴게요 이것은 |x^2/3|가 1보다 작다는 것과 같습니다 그리고 이것은 또한 여기서 잠깐 눈치채셨을 것이 x^2은 항상 양수라는 것입니다 아니죠 이렇게 말하는 것이 올바를 것입니다 항상 음수가 아니라는 것이죠 그래서 이것은 결국 x^2/3가 1보다 작다는 것과 같습니다 이해 되시나요? 이 부분에서 여러분이 햇갈리면 안됩니다 |x^2/3|는 그냥 x^2/3가 됩니다. 이 부분은 절대 음수값이 되지 못하기 때문입니다 양변을 3으로 곱하면 이쪽으로 올라와서 다시 쓰면 양변을 3으로 곱해 x^2가 3보다 작아야 합니다 결국 |x|의 값이 √3보다 작아야 합니다 x는 -√3보다 크고 √3보다는 작다는 것이죠 그럼 이것이 수렴 반경입니다 이 급수의 수렴 반경이죠 이것은 기하급수로 멱급수의 특수한 형태이죠 수렴 반경 내에서 그 값은 1/(x^2/3)가 됩니다 x가 이 범위 안에 있는 이상은 이 값은 항상 우리의 원래 식과 같은 값이 될 것입니다 상당히 재미있는 일이죠