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함수로서의 기하급수

동영상 대본

2 - 8x² + 32x⁴ - 128x⁶으로 시작하는 함수가 있습니다 2 - 8x² + 32x⁴ - 128x⁶으로 시작하는 함수가 있습니다 2 - 8x² + 32x⁴ - 128x⁶으로 시작하는 함수가 있습니다 그리고 계속되고요 무한급수로 정의되어 있는 것이죠 이 동영상에서는 이 함수를 무한급수가 아닌 다른 방법으로 나타낼 수 있는지 알아보도록 하겠습니다 여러분 중 몇 분은 우변이 등비급수처럼 보인다고 생각했을 수 있는데 수렴하는 무한등비급수의 합은 구할 수 있습니다 수렴하는 무한등비급수의 합은 구할 수 있습니다 그러니까 이걸 나타낼 수 있는 방법이 있을 수 있겠네요 이렇게 해 보죠 먼저 이것이 무한등비급수인지 확인해 봅시다 먼저 이것이 무한등비급수인지 확인해 봅시다 등비급수가 되려면 각각의 연속되는 항이 이전 항에 공비를 곱한 것이어야 합니다 그러면 2에서 -8x²이 되려면 무엇을 곱해야 할까요? -4x²을 곱해야 합니다 이제 -8x²에 -4x²을 곱하면 무엇이 되는지 볼까요? -4x²을 곱하면 무엇이 되는지 볼까요? -4 x -8은 32입니다 x²에 x²을 곱하면 x⁴이죠 되네요 다음으로 이것에 -4x²을 곱하면 역시 128x⁶이 되네요 따라서 우변은 무한등비급수가 맞아 보입니다 따라서 우변은 무한등비급수가 맞아 보입니다 사실 f(x)를 n = 0부터 무한대까지 n = 0부터 무한대까지 첫 번째 항과 공비 (-4x²)^n의 합으로 나타낼 수 있습니다 공비 (-4x²)^n의 합으로 나타낼 수 있습니다 공비 (-4x²)^n의 합으로 나타낼 수 있습니다 n = 0일 때 이것이 성립하는지 봅시다 이건 1이 되고 2 x 1은 2이므로 첫 번째 항이 맞네요 여기에 n =1일 때를 더하면 여기에 n =1일 때를 더하면 2 · -4x²이고 이 두 번째 항이 맞습니다 이건 맞아 보이네요 그러면 이러한 무한등비급수의 합은 얼마일까요? 공비의 절댓값이 1보다 작으면 유한한 값입니다 공비의 절댓값이 1보다 작으면 유한한 값입니다 공비의 절댓값이 1보다 작으면 유한한 값입니다 먼저 어떤 조건에서 공비의 절댓값이 1보다 작은지 생각해 봅시다 공비의 절댓값이 1보다 작은지 생각해 봅시다 그렇게 하면 수렴 반지름을 찾는데 도움이 되겠죠 그리고 x가 그 안에 있다면 그 구간 안에 있다면 이 함수를 표현하는 유한등비급수를 구할 수 있습니다 이 함수를 표현하는 유한등비급수를 구할 수 있습니다 그러니까 어떤 경우에 이게 수렴해서 유한한 값이 되는지 보면 공비의 절댓값이 1보다 작은 경우입니다 공비의 절댓값이 1보다 작은 경우입니다 이걸 좀 더 간단히 할 수 있는지 보죠 x가 무엇이던 항상 x²은 음수가 아닙니다 따라서 이 방정식은 항상 음수입니다 그리고 그 절댓값을 구하면 4x²이 되겠죠 이는 항상 양수고요 따라서 이것은 4x²이 1보다 작아야 한다고 하는 것과 같습니다 또는 x²이 1/4보다 작아야 한다고 하거나 x가 1/2보다 작고 -1/2보다 커야 한다고 할 수도 있습니다 -1/2보다 커야 한다고 할 수도 있습니다 이 구간 어디에서도 제곱하면 1/4이 되니까요 1/2일 때는 1/4과 같고요 -1/2일 땐 제곱하면 1/4입니다 하지만 그보다 작은 절댓값은 1/4보다 작습니다 이 구간이 말해주는 것은 그렇습니다 다르게 생각해보면 x의 절댓값이 1/2보다 작아야 합니다 이렇게 무한등비급수가 수렴하는 구간을 찾았는데 이렇게 무한등비급수가 수렴하는 구간을 찾았는데 이 함수의 수렴 반지름은 이 함수의 수렴 반지름은 1/2이라고 할 수 있습니다 0에서 1/2만큼 위로 1/2만큼 아래로 갈 수 있으니까요 이제 수렴 조건을 만들었으니 다시 써 봅시다 이 함수는 무엇과 같냐면 무한등비급수의 합은 압니다 첫 번째 항을 1에서 공비를 뺀 값으로 나누는 것이죠 1- 4x²입니다 따라서 함수를 f(x)는 2/ (1- 4x²)라고 할 수 있습니다 2/ (1- 4x²)라고 할 수 있습니다 x의 절댓값이 1/2보다 작은 경우에요 수렴구간도 구했고 되었네요 끝났습니다