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기하급수로서의 함수

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f의 멱급수를 구합니다 f(x) = 6/(1+x³) 입니다 f(x) = 6/(1+x³) 입니다 멱급수를 구해야 하지만 매클로린 급수를 구해봅시다 0을 중심으로 하기 때문에 구하기 가장 간편하기 때문이죠 바로 느낌이 올 거예요 f(0), f'(0), f''(0) 등을 계산해야 하는 것을 말이죠 f(0), f'(0), f''(0) 등을 계산해야 하는 것을 말이죠 f(0), f'(0), f''(0) 등을 계산해야 하는 것을 말이죠 전개하기 위해서 매클로린 급수의 공식을 이용할 수 있습니다 하지만 금방 장애물에 막히게 될 거예요 우선 f(0)을 계산하는 것은 우선 f(0)을 계산하는 것은 아주 간단합니다 f'(0)을 구하는 것도 간단합니다 하지만 이계도함수 삼계도함수부터는 아주 지저분하고 정신없게 됩니다 이를 간단히 만들어보면 f(u) = 6/(1+u)의 매클로린 급수를 구해봅시다 f(u) = 6/(1+u)의 매클로린 급수를 구해봅시다 여기서 u = x³ 입니다 u에 대하여 매클로린 전개식을 구하고 u 대신에 x³을 대입합니다 그러면 좀 더 간단해집니다 접근하는 또 다른 방식입니다 하지만, 접근하는 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다 이 유리식은 등비급수의 합과 비슷해 보입니다 등비급수의 합이 어떤 모습인지 스스로 상기시켜 봅시다 a + ar a는 첫 번째 항이고 r은 공비입니다 r을 한번 더 곱합니다 + ar² + ar³ 계속하여 더해줍니다 그결과 분자는 첫 번째 항인 a이고 분모는 1 - 공비입니다 등비급수의 합에서 나온 것이죠 f(x)를 보면 f(x)를 보면 등비급수의 합과 아주 비슷하게 생겼습니다 이 부분이 a이므로 a = 6 입니다 -r = x³ 이라면 다시 적어볼게요 분모를 1 - (-x³) 로 나타냅니다 분모를 1 - (-x³) 로 나타냅니다 따라서 r은 -x³ 입니다 따라서 r은 -x³ 입니다 이런 식으로 전개하면 됩니다 a = 6 이고 r = -x³ 이라면 등비급수로 나타낼 수 있습니다 훨씬 간단하게 말이죠 그럼 해봅시다 분홍색으로 해볼게요 첫 번째 항은 6이고 두 번째 항은 6 × (-x³) 이므로 -6x³으로 나타냅니다 -6x³으로 나타냅니다 여기에 -x³을 한번 더 곱합니다 이 식에 -x³을 곱하면 이 식에 -x³을 곱하면 + 6x^6이 됩니다 + 6x^6이 됩니다 다시 -x³을 곱하면 -6x^9이 됩니다 -6x^9이 됩니다 이렇게 계속 진행합니다 계속 해보면 여기에 -x³을 곱합니다 6x^12이 나옵니다 이렇게 계속 진행합니다 여기서 핵심은 이 식은 f(x)의 매클로린 급수 전개식이지만 핵심은, 일일이 구할 필요는 없으며 핵심은, 일일이 구할 필요는 없으며 이 함수가 등비급수의 합과 비슷한 형태이므로 등비급수의 합으로 간주될 수 있어 함수에 대하여 멱급수 전개를 구하는데 이용할 수 있습니다 이는 상당히 유용한 기술입니다