arctan(2x)의 멱급수

이번 시간에는 x=0 에서 arctan(2x)의 멱급수 근사식 혹은 멱급수 표현식을 멱급수 근사식 혹은 멱급수 표현식을 구해보려고 합니다 x=0 에서 arctan(2x)의 멱급수 근사식의 0이 아닌 처음 4개 항을 구해봅시다 이는 arctan(2x)의 매클로린 급수의 0이 아닌 처음 4개 항입니다 느낌이 온다면 강의를 멈추고 스스로 풀어보세요 한 번 시도해 보았다면 먼저 도함수를 구했을 것입니다 먼저 도함수를 구했을 것입니다 arctan(2x)를 x에 대하여 미분하면 arctan(2x)를 x에 대하여 미분하면 바로 떠오르지 않는다면 이로써 상기시켜 봅시다 arctan(x)의 도함수는 1/(1+x²) 이므로 이 식은 분자는 2x의 도함수인 2이고 분모는 1과 이 값 전체의 제곱의 합이므로 2/(1+4x²)가 됩니다 매클로린 급수의 항을 더 구할수록 이 식을 여러 번 미분해야 하고 그러면 엄청 복잡해지고 정신없게 됩니다 0이 아닌 처음 4개 항을 구한다면 말이죠 0이 아닌 처음 4개 항을 구한다면 말이죠 아직 충분히 배우지 않은 부분에 대한 이해가 필요해 보인다고 깨달을 것입니다 x=0을 중심으로 하는 arctan(2x)의 멱급수에서 x=0을 중심으로 하는 arctan(2x)의 멱급수에서 x=0을 중심으로 하는 arctan(2x)의 멱급수에서 0이 아닌 처음 4개항을 구할 때 말이죠 0이 아닌 처음 4개항을 구할 때 말이죠 맞아요, 핵심적으로 간파해야 하는 부분이 있습니다 그 부분은 바로 다음과 같습니다 직접 미분하는 대신에 멱급수 표현식에서 이 식의 처음 4개 항을 구하고 arctan(2x)의 멱급수를 구하기 위해 이 식에 부정적분을 취합니다 x=0 을 중심으로 한다는 사실을 만족하는 x=0 을 중심으로 한다는 사실을 만족하는 상수가 나온다는 것을 보장하기 위해서이죠 무슨 생각을 하는지 알고 있습니다 똑같은 문제인 것처럼 보입니다 똑같은 문제인 것처럼 보입니다 이 식의 멱급수 표현식을 구하고자 한다면 처음 4개 항을 구하고자 한다면 이 식을 힘겹게 여러 번 미분해야 했지만 이 식을 힘겹게 여러 번 미분해야 했지만 핵심은 여러분도 추측했다시피 f(x)가 있습니다 이는 arctan(2x)의 도함수인 이는 arctan(2x)의 도함수인 2/(1+4x²) 입니다 2/(1+4x²) 입니다 깔끔하게 만들어주는 다른 함수가 있다면 도함수를 구할 때 지저분하지 않겠죠 그 다른 함수를 g(x)라고 합시다 써보지 않은 색을 쓰겠습니다 g(x) = 1/(1+x) 입니다 g(x) = 1/(1+x) 입니다 이 식은 아주 재밌는 식입니다 아주 쉽고 (1+x)^(-1)과 같습니다 g(x)는 도함수를 구하기 쉬운 재밌는 함수입니다 예를 들어 g'(x)는 합성함수의 미분법인 연쇄법칙을 이용하면 1+x의 도함수는 1이므로 -1/(1+x)² 입니다 -1/(1+x)² 입니다 g''(x)는 -2 × (-1) = 2와 (1+x)^(-3)의 곱입니다 (1+x)^(-3)의 곱입니다 g'''(x)는 g'''(x)는 -3 × 2 = -6과 (1+x)^(-4)의 곱입니다 여러분은 이런 생각이 들 수도 있어요 걱정이 되고 이렇게 해서 풀 수 있는지를요 저를 믿고 잠시만 참아주세요 바로 말하자면 g(x)의 처음 세 번의 도함수를 구할 수 있었고 멱급수 표현식의 처음 4개항을 아주 쉽게 구했습니다 이는 x=0을 중심으로 하는 멱급수인 이는 x=0을 중심으로 하는 멱급수인 매클로린 급수입니다 각각에 x=0을 대입하여 계산합니다 g(0) = 1 g'(0) = -1 g'(0) = -1 g''(0)는 (1+0)^(-3) = 1 1 × 2 = 2 입니다 g'''(0) = -6 g'''(0) = -6 g(x)를 나타낼 수 있습니다 g(x)의 근사식은 처음 4개항은 g(0)인 1 -g'(0)x 즉, -x이고 g''(0) = 2 2/2! · x² 이며 2/2! = 1이므로 다시 적어봅시다 + x² g'''(0) = -6 -6/3! · x³ -6/3! · x³ 3! = 6이므로 -6/6 = -1 입니다 따라서 -x³이 됩니다 여러분이 무슨 생각을 하는지 알고 있습니다 어려운 문제로 시작해놓고 멱급수 표현식을 구하기 위해 스스로 쉬운 문제를 풀었는데 이것이 어떻게 유용할지 걱정이 되겠죠 이것이 지금까지 이번 강의를 통틀어서 이야기한 핵심적인 부분입니다 핵심적인 부분은 적절한 색깔로 알려드리죠 f(x)는 주목하세요 f(x)는 2g(4x⁴) 입니다 f(x)는 2g(4x⁴) 입니다 x 대신 4x²을 대입합니다 1/(1+x⁴)이 되고 전체 식에 2를 곱하면 이 식이 나옵니다 f(x)가 이와 같다면 f(x)의 멱급수 표현식은 다음과 같습니다 g(x) 혹은 처음 4개 항에 멱급수를 취하고 x 대신 4x²을 대입하여 전체 식에 2를 곱합니다 한번 해봅시다 f(x)를 적어보면 f(x)를 적어보면 f(x)를 적어보면 근사식은 다음과 같습니다 2 곱하기 x 대신 x⁴을 대입한 것이므로 1 - 4x² 1 - 4x² 1 - 4x² (4x²)²이므로 (4x²)²이므로 16x⁴ 입니다 적어볼게요 + 16x⁴ 마지막으로 -x³은 x 대신 x²을 대입하면 -(4x²)³이고 이는 64x^6이므로 적어보면 -64x^6 입니다 이 식을 정리하면 f(x)의 근사식은 2를 분배하면 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 치환을 이용하여 지저분하지 않게 구하였습니다 arctan(2x)의 멱급수의 도함수인 arctan(2x)의 멱급수의 도함수인 2/(1+4x²)의 멱급수의 2/(1+4x²)의 멱급수의 처음 4개 항을 말이죠 처음 4개 항을 말이죠 이를 적어봅시다 이를 적어봅시다 arctan(2x)는 arctan(2x)는 f(x)의 부정적분과 같고 f(x)의 부정적분과 같고 이것은 이 전체 식의 부정적분과 같습니다 이것은 이 전체 식의 부정적분과 같습니다 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 2 - 8x² +32x⁴ - 128x^6 근사 기호로 적어줍니다 멱급수를 이용하여 근사식을 구하고 있으니까요 이것은 무엇과 같을까요? 다음 식에 근사합니다 여기 상수가 있습니다 먼저 상수를 적어줍니다 멱급수나 매클로린 급수에서 첫 번째 항은 상수이기 때문이죠 이는 함수에 0을 대입한 값입니다 상수가 있고 2의 부정적분은 +2x 이고 이 항의 부정적분은 x³, 8/3 따라서 -8/3 · x³ 입니다 + 32x^5/5 + 32x^5/5 - 128x^7/7 - 128x^7/7 최종 단계에 도달했습니다 0이 아닌 처음 4개의 항을 구했습니다 C가 0이 아니라면 0이 아닌 항이 5개 입니다 하지만 상수가 arctan(2x)에 적절한지 하지만 상수가 arctan(2x)에 적절한지 확실하게 알아봅시다 이 상수값은 arctan(2x)에 x=0을 대입한 값입니다 arctan(0)은 무엇일까요? 명심하세요 이는 0을 중심으로 하므로 더 쉽게 구할 수 있습니다 매클로린 급수 표현식을 구하고 있다면 아주 기본적인 것이죠 0을 중심으로 하므로 근사식에 x=0을 대입한 값은 함수에 x=0을 대입한 것과 같아야 합니다 arctan(2·0) = 0 이므로 arctan(2·0) = 0 이므로 x=0을 대입할 때 c가 나오므로 c=0 입니다 x=0일 때 c=0 이어야 다른 식이 0이 됩니다 끝났습니다 arctan(2x)는 arctan(2x)는 다음 식에 근사합니다 2x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7 2x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7 2x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7 항을 더 추가하고 싶다면 위에서 했던 방식으로 항을 구하면 됩니다 저는 4개 항만 구한 것이구요 꽤 복잡한 문제이지만 즐겁게 풀었기를 바랍니다 하지만 보다시피 생각보다 복잡하지 않습니다 하지만 보다시피 생각보다 복잡하지 않습니다