예제: 교대 급수

이 급수가 수렴하게 하는 양의 p의 조건은 무엇일까요? 시작해봅시다 n=1부터 무한대까지의 범위에서 -1의 n+1 제곱 곱하기 p/6의 n제곱을 합한 급수가 있습니다 헷갈릴 수도 있는 부분이 있는데 이 -1의 n+1제곱을 보면 n이 1,2,3처럼 늘어날 때 계속 +1, -1, +1이 번갈아 가면서 나올 것입니다 그래서 수식의 부호가 계속 바뀔 것이고 이게 뭘 하려고 하는지에 힌트가 될 수 있죠 그냥 적어보기로 하죠 n이 1일 때 (-1)² 이니까 ＋1이 됩니다 그러면 p/6이 되죠 n이 2면 (-1)³ 이 되니까 - (p/6)² 이 됩니다 그 다음은 + (p/6)³ 이고요 첫 항에도 1² 이라고 적죠 그 다음은 - (p/6)⁴ 이고 계속 덧셈 뺄셈이 반복되고 그 뒤도 계속 그럴거죠 이 급수는 가장 일반적인 형태의 급수고 교대급수판정법을 사용해 이 급수의 수렴 여부를 알 수 있습니다 교대급수판정법에 의하면 부호가 바뀌지 않는 부분인 식의 이 부분이 식의 이 부분이 단조감소를 하고 있다면 참고로 단조감소라 하면 어떤 항이 그 전 항보다 크기가 작다는 뜻입니다 또 n이 무한대에 가까워질 때 이 부분이 0이 되어야 합니다 그러니까 p/6 의 무한 제곱이 0이 되어야 한다는 것이죠 어떤 조건에서 그렇게 될까요? p/6 이 1보다 작아야 우리가 원하는 조건을 만족하게 됩니다 만약 p의 값이 6이어서 p/6이 1이었다면 단조감소가 아니겠죠 모든 항이 1일 것입니다 1¹ 1² 이렇게 나올 것입니다 그리고 p가 6보다 크다면 매 번 제곱을 할 때마다 점점 숫자가 커져서 확실히 0으로 수렴하지는 않을 것입니다 그래서 p/6이 1보다 작아야 하고 양변에 6을 곱하면 p가 6보다 작다는 조건이 나옵니다 그리고 p가 양수인 것도 조건이었으므로 p가 0보다 크다는 것도 알고 있습니다 p는 0보다 크고 6보다 작아야 하므로 이게 정답이겠네요 다시 말하지만 p는 6과 같으면 안됩니다 p가 6이라면 이 부분이 1의 n제곱이 되므로 그러면 여기는 1 여기는 -1, +1 이렇게 반복될테니 안됩니다 이렇게 반복될테니 안됩니다