교대급수 판정법

다른 수렴 판정법을 한번 배워 봅시다 이는 교대급수 판정법입니다 교대급수 판정법을 설명하고 실제 급수에 적용을 해보겠습니다 이는 교대급수 판정법의 설명에 도움이 되겠죠 무한급수가 있다고 가정합시다 n = k부터 무한대까지 an을 더한다고 합니다 이는 혹은 an을 이는 혹은 an을 an을 an은 -1^n · bn입니다 an은 -1^n · bn입니다 혹은 an은 -1^(n + 1) · bn입니다 bn은 모든 n에 대해 0보다 크거가 같습니다 따라서 모든 정수에 대해 n은 k보다 크거나 같습니다 이 모든 조건이 참이고 다른 조건을 안다면 1. n이 무한대로 가는 경우 bn의 극한값은 0입니다 2. bn은 감소하는 급수입니다 감소하는 감소하는 급수죠 그리고 원래 무한급수는 원래 무한급수는그리고 원래 무한급수는 수렴합니다 이는 지금은 추상적으로 보일 것입니다 실제 급수를 사용하여 설명을 더 명확히 해보겠습니다 n = 0 부터 무한대까지 급수가 있다고 합시다 (-1^n)/n이죠 이를 나열하여 급수를 더 명확히 표현합니다 n = 1일 경우 이 값은 -1^1입니다 이 문제를 더 흥미롭게 만들어 봅시다 이를 -1^n+1이라 합시다 n = 1일 경우 이는 -1^2/1이며 1입니다 n = 2일 경우 -1^3이며 -1/2입니다 따라서 -1/2에 1/3을 더하고 1/4을 빼게 됩니다 그리고 +, -가 영원히 반복되는 식입니다 an을 이렇게 다시 적을 수 있나요? 물론이죠 -1^n+1은 여기 적혀 있네요 an을 다시 적을 수 있습니다 해봅시다 따라서 an은 -1^n +1/n입니다 이는 -1^n + 1x1/n과 같은 식입니다 이는 여기 이 항은 bn입니다 여기 이 항은 bn입니다 bn은 따라서 모든 n에 대하여 0보다 크거나 같습니다 따라서 bn은 1/n과 같습니다 이는 모든 양의 정수 n에 대해 0보다 크거나 같습니다 극한은 무엇인가요? bn을 보면 n이 무한대에 가까워지면 bn의 극한은 무엇인가요? 우선 1/n을 적고 n이 무한대에 가까워지면 이는 0과 같습니다 첫 번째 제약을 해결했네요 이는 감소하는 급수이며 n이 증가할수록 분모가 감소합니다 분모가 더 크다면 값이 더 작겠죠 1/n은 또 감소하는 수열이라고 할 수 있죠 문제의 n의 범위에 대해서 말이죠 따라서 이를 만족 시킵니다 이를 통해서 이 값은 여기 이 값은 항상 0보다 크거나 같습니다 1/n 혹은 bn이 n이 무한에 가까워질 경우 값은 0입니다 감소하는 구간입니다 따라서 원래의 급수는 수렴합니다 따라서 n = 1부터 무한대까지 -1^(n+1)/n입니다 흥미롭네요 이미 이 모든 값이 양수라는 것을 알고 이 모든 항이 양수라면 조화급수이며 수렴하지 않습니다 하지만 이는 수렴했으며 여기 - 때문입니다 이 급수가 수렴한다는 것을 다른 방법을 통해 증명할 수 있습니다 시간이 있다면 극한을 비교하여 구할 수 있습니다 궁금한 분들을 위해 알려드립니다 이는 매우 유용한 방법입니다 이는 발산 판정법과 비슷하지만 발산 판정법은 어떤 급수가 발산하는지 구하는데 유용합니다 식의 극한이 0에 가까워지지 않는다면 해당 급수는 발산합니다 이는 유용합니다 수렴을 증명하기 때문이죠 어떤 급수가 교대급수 판정법을 통과하지 못한다면 이는 발산한다는 것은 아닙니다 이는 교차급수 판정법을 통해 수렴한다는 것을 증명하지 못한거죠