교대급수의 나머지

무한급수에 대해 알아봅시다 n=1 부터 무한대까지 (-1)^(n+1)/n² 의 합은 n=1 부터 무한대까지 (-1)^(n+1)/n² 의 합은 n=1 부터 무한대까지 (-1)^(n+1)/n² 의 합은 n=1일 때는 양수입니다 1입니다 다음은 -1/2² 이고 이것은 -1/4 입니다 더하기 1/9 빼기 1/16 더하기 1/25 꽤 멀리 가보겠습니다 빼기 1/36 더하기 1/49 빼기 1/64 충분합니다 여기서 멈추겠습니다 물론 계속 이어질 것입니다 교대급수이므로 무한히 더하고 빼기를 반복할 것입니다 교대급수이므로 무한히 더하고 빼기를 반복할 것입니다 이전에 배운 수렴 판정법으로부터 자세히는 교대급수판정법으로부터 이 식이 수렴하기 위한 조건을 만족한다는 것을 알 수 있습니다 이 식이 수렴하기 위한 조건을 만족한다는 것을 알 수 있습니다 그리고 실제로 수렴한다는 것을 보일 수 있습니다 지금 하려는 것은 어떤 값으로 수렴하는지 가늠해보는 것입니다 지금 하려는 것은 어떤 값으로 수렴하는지 가늠해보는 것입니다 S라는 값이 무엇인지 근사해보고 싶습니다 근삿값을 구하기 위해 유한 번의 계산을 할 것입니다 전체를 다 더할 수 없기 때문이죠 첫 4개의 항의 부분합을 통해 근사해봅시다 첫 4개의 항의 부분합을 통해 근사해봅시다 여기 4개의 항을 더해봅시다 이것을 S₄라고 부릅시다 그렇다면 나머지가 생길 것입니다 여기 나머지 항들의 합입니다 여기 나머지 항들의 합입니다 괄호로 묶을 수도 없습니다 이것이 나머지이며 원하는 합을 구할 때 첫 4개의 항을 제외한 나머지 항 첫 4개의 항을 제외한 나머지 항 즉 5번째부터 무한대까지의 항입니다 전에 본 적이 있을 것입니다 실제 급수의 합은 부분합과 나머지의 합과 같습니다 이 부분은 계산할 수 있습니다 한번 봅시다 공통분모는 9×16=144 이므로 분모는 144이고 분자는 144-36+16-9 입니다 분자는 144-36+16-9 입니다 계산해봅시다 -36+16=-20 이므로 124-9=115 입니다 즉 이 부분은 115/144 와 같습니다 계산기도 필요 없었습니다 여기에 추가로 나머지가 있습니다 여기에 추가로 나머지가 있습니다 즉 나머지의 범위를 구할 수 있다면 실제 합의 범위를 구할 수 있습니다 실제 합의 범위를 구할 수 있습니다 부분합이 실제 합으로부터 얼마나 멀리 떨어져 있을까요? 두 가지 방법이 있습니다 한번 봅시다 가장 먼저 보이고 싶은 것은 오른쪽의 나머지가 항상 양수라는 것입니다 영상을 멈추어 스스로 증명해보는 것을 권장합니다 영상을 멈추어 스스로 증명해보는 것을 권장합니다 이 나머지가 양수라는 것을 증명해봅시다 이 나머지가 양수라는 것을 증명해봅시다 한 번 시도해 보았을 것이라 믿습니다 나머지를 적어봅시다 위에 적도록 하겠습니다 위에 적도록 하겠습니다 R₄=1/25... 사실 따로 적지 않아도 됩니다 나머지가 양수라는 것을 여기서 보여드릴 수 있습니다 나머지가 양수라는 것을 여기서 보여드릴 수 있습니다 어떻게 증명할까요? 괄호로 항들을 묶어봅시다 괄호로 항들을 묶어봅시다 괄호로 항들을 묶어봅시다 1/25 - 1/36 1/36은 1/25보다 작습니다 1/25는 양수이고 1/36은 음수입니다 즉 이것은 양수입니다 양수인 항이 있고 그것보다 크기가 작은 항을 뺍니다 즉 이 부분은 양수입니다 따라서 항들을 묶어서 나타내면 항이 전부 양수인 무한급수를 얻습니다 항이 전부 양수인 무한급수를 얻습니다 따라서 우리는 R₄가 양수라는 것을 증명했습니다 따라서 우리는 R₄가 양수라는 것을 증명했습니다 따라서 우리는 R₄가 양수라는 것을 증명했습니다 R₄는 0보다 큽니다 이제 보이고 싶은 다른 한가지 사실은 이 나머지가 우리가 계산하지 않은 첫번째 항보다 작다는 것입니다 다시 말해 나머지가 1/25보다 작다는 것입니다 다시 한 번 이 영상을 멈추고 이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로 묶을 수 있는지 스스로 해봅시다 이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로 묶을 수 있는지 스스로 해봅시다 이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로 묶을 수 있는지 스스로 해봅시다 이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로 묶을 수 있는지 스스로 해봅시다 이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로 묶을 수 있는지 스스로 해봅시다 스스로 해보았을 것이라고 믿고 바로 적어보겠습니다 같은 핑크색을 사용하겠습니다 첫 4개 항의 부분합을 구할 때의 나머지는 첫 4개 항의 부분합을 구할 때의 나머지는 1/25 그리고 다른 방법으로 적어보겠습니다 -1/36 을 적는 대신 - 기호를 쓰고 지금 두번째와 세번째 항을 괄호로 묶을 것입니다 지금 두번째와 세번째 항을 괄호로 묶을 것입니다 이것은 1/36-1/49 입니다 그리고 우리는 -(1/64 - ...) 사실 다음 항은 1/9² 즉 1/81 입니다 그리고 - 기호 후에 계속 이어집니다 그리고 - 기호 후에 계속 이어집니다 일어나는 현상을 자세히 봅시다 여기 이 항은 양수입니다 작은 수를 큰 수로부터 뺀 것입니다 이 항은 양수입니다 1/25 로 시작하여 계속 양수를 빼고 있습니다 계속 양수를 빼고 있습니다 이것은 1/25보다 작을 것입니다 R₄는 1/25보다 작을 것입니다 또는 R₄가 0.04보다 작다고 할 수 있습니다 0.04와 1/25는 같습니다 사실 여기서 사용한 논리가 교대급수판정법을 증명하는데 사용된 논리입니다 기분이 약간 좋아질 것입니다 이 부분의 값이 0보다 크고 더 많은 항을 더할수록 증가할 것입니다 하지만 상한값을 가집니다 1/25라는 상한이 존재합니다 더 나은 표현을 사용하자면 이것은 수렴할 것입니다 하지만 여기서 다루는 주제는 아닙니다 하지만 여기서 다루는 주제는 아닙니다 지금은 범위에만 관심이 있습니다 구하는 합은 이 두 항의 합과 같습니다 즉 전체 합은 115/114와 R₄의 상한값의 합보다 작을 것입니다 115/114와 R₄의 상한값의 합보다 작을 것입니다 더하기 0.04, 그리고 이 값은 다음보다 클 것입니다 다음보다 클 것입니다 부분합+0 보다 클 것입니다 왜냐하면 나머지가 0보다 크기 때문입니다 그냥 부분합보다 크다고 할 수 있습니다 그냥 부분합보다 크다고 할 수 있습니다 그리고 바로 이렇게 손으로 계산을 했을 뿐인데도 무한급수의 합에 대해 꽤 좋은 범위를 얻었습니다 무한급수의 합에 대해 꽤 좋은 범위를 얻었습니다 무한급수의 합에 대해 꽤 좋은 범위를 얻었습니다 이제 계산기를 사용하여 조금 더 감을 잡아봅시다 115/114를 계산하면 0.7986 그리고 1이 반복되는 순환소수입니다 0.79861이 반복되는 순환소수입니다 이 값이 S보다 작으며 S는 이 값 +0.04보다 작습니다 여기에 써보겠습니다 0.04를 더하면 0.8386 그리고 1이 반복됩니다 사실 이 부분은 암산할 수도 있었습니다 제가 왜 계산기를 사용했는지 모르겠습니다 0.8386 그리고 1이 반복됩니다 그리고 바로 이렇게 손으로만 계산을 해서 우리는 S에 대해 꽤 괜찮은 근삿값을 구할 수 있었습니다 우리는 S에 대해 꽤 괜찮은 근삿값을 구할 수 있었습니다 그리고 여기서 가장 중요한 것은 이 부분에 대해 더 다룰 것인데 명확안 예시를 통해 감을 잡을 수 있도록 한 것입니다 명확안 예시를 통해 감을 잡을 수 있도록 한 것입니다 이러한 교대급수가 있으며 교대급수판정법을 만족하고 교대급수판정법을 만족하고 각 항을 -1의 n승 또는 n+1승 곱하기 감소하며 0으로 수렴하는 양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때 곱하기 감소하며 0으로 수렴하는 양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때 곱하기 감소하며 0으로 수렴하는 양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때 급수가 수렴할 뿐더러 급수가 수렴할 뿐더러 부분합에 포함하지 않은 첫 번째 항으로부터 오차를 구할 수 있습니다 부분합에 포함하지 않은 첫 번째 항으로부터 오차를 구할 수 있습니다 이것은 한 예시입니다 첫 항이 양수인지 음수인지에 따라 달라질 것이며 첫 항이 양수인지 음수인지에 따라 달라질 것이며 절댓값에 대한 개념도 소개할 것입니다 절댓값에 대한 개념도 소개할 것입니다 하지만 중요한 점은 오차의 범위가 부분합에 포함하지 않은 첫 번째 항보다 크지 않다는 것입니다 부분합에 포함하지 않은 첫 번째 항보다 크지 않다는 것입니다