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치환 적분: 로그 함수

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우리는 우리를 주눅들게 하는 x 곱하기 자연로그 x분의 파이 dx의 부정적분을 구하라는 문제를 맞닥뜨렸습니다 이 문제를 어떻게 접근하면 좋을까요? u로 치환하는 방법이 맞을까요? 치환하는 방법을 고려해보기 전에, 우리는 치환하려는 표현과 그 도함수를 찾아야 합니다 u는 자연로그 x라고 가정하면 어떻게 될까요? 이 때, "d u (u의 미분값)"은 무엇이 될까요? "d u"는 자연로그 x의 x에 대한 도함수가 될 것입니다 이는 그냥 1/x d x이죠 달리 말해, 이 표현은 d u d x 가 1/x이라는 표현과 동치입니다 그렇다면, 우리가 과연 1/x이라는 표현을 원래 수식에서 찾을 수 있을까요? 사실, 좀 숨어 있기는 합니다 명백히 보이지는 않으나, 분모의 x는 1/x를 의미하고 이는 d x와 곱해져 있습니다 좀 더 이해하기 쉽게 원래의 표현을 다시 써 보죠 첫번째로 제가 할일은, 파이를 가지고, 이 색깔은 이미 썼었으니 다른 색으로 바꿀게요 파이를 가지고 앞으로 좀 꺼내보도록 하죠 이렇게 파이를 적분기호 앞으로 가져와 봅시다 이것은 결국 적분값이... 아 그 전에 1/자연로그 x를 먼저 써 줄게요 1/자연로그 x 곱하기 1/x dx 이제 훨씬 명백해졌죠? 이것들은 완전히 동치입니다 이것은 또 u로 치환하는 방법이 여기서 잘 맞는다는 것을 확실히 해 줍니다 u는 x의 자연로그와 같다고 가정합니다 그러면 d u는 1/x d x가 되겠죠? 1/x dx d u는 1/ x d x입니다 이 적분식을 다시 써 볼게요 이것은 파이 곱하기 1/u의 부정적분과 같습니다 자연로그 x가 u이므로 우리는 처음에 u가 자연로그 x 곱하기 d u와 같다고 가정했고, 곱하기 d u 말이죠, 이제 좀 간단해졌죠? 이 모든 것의 부정적분이 무엇일까요? 우리는 이것과 아주 비슷한 것들을 이미 몇차례 해 왔습니다 적분값은 파이 곱하기 자연로그 u의 절댓값의 자연로그 값, 그래야만 u가 음수일 때도 정의할 수 있기 때문에, 결국 절댓값 u의 자연로그 더하기 상수 c와 같게 됩니다 좋아요 여기 상수항이 있네요 더하기 c 이제 거의 다 됐습니다, u로 치환한 것을 원상복귀시키기만 하면 됩니다 u는 자연로그 x와 같습니다 우리는 그래서 이와 같은 잘 정리된 수식을 얻게 되는 것이죠 우리가 간단화시킨 이 전체 부정적분의 값은 우리가 계산한대로 파이 곱하기 자연로그 절댓값 u 와 같습니다 하지만 u는 그냥 x의 자연로그 값 자연로그 x와 같습니다 그리고 여기, 바로 여기에 더하기 c가 하나 남았죠 그리고 우리는 처음에 원래의 수식에서 x가 양수 범위에서만 정의된다고 가정할 수도 있었을 것이다 왜냐하면 여기서 자연로그 값을 취해야 하고 절댓값 기호가 없었기 때문이죠 그래서 우리는 이것을 x의 자연로그 값으로 그냥 놓아둘 수 있겠죠 이는 지금 상황에서도 적용할 수 있습니다 왜냐하면 우리는 ln x가 음수일 수도 있는 경우의 절댓값 ln x를 취한 것이기 때문이죠 예를들어 우리가 자연로그 0.5를 취했을 때는 어떻게 될지 누가 알겠습니까? 하지만 우리는 이미 풀이를 끝냈죠 우리는 우리를 주눅들게 만들었던 수식을 결국 풀어낸 것입니다