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치환: 상수를 곱하기

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√(7x+9)의 부정적분을 계산해 봅시다 제 첫 질문은 이 문제가 과연 u-치환에 적절한 예시일까요? 문제를 보시면, u를 7x+9로 설정하는 것이 자연스러운 것 같습니다 그런데 이 문제의 어디에서 도함수를 찾죠? 글쎄요 한번 봅시다 만약 u를 7x+9로 설정하면 x에 관한 도함수는 무엇이 될까요? x에 관한 도함수는 바로 7이 될 것입니다 7x의 도함수는 7이고 9의 도함수는 0이니까요 그럼 이 문제에서 7을 찾을 수 있나요? 아뇨 그러지 못하네요 과연 정적분의 값을 안바꾸면서도 7을 찾기 위해 어떻게 해야 할까요? 우리가 많이 봐왔으며 가장 중요한 것은 정적분을 계산할 때 스칼라는 적분기호 안과 밖을 쉽게 오갈 수 있다는 것입니다 만약 a 스칼라 배의 f(x)dx의 정적분을 계산할 때 이는 f(x)dx의 정적분 값의 a배와 같습니다 함수의 스칼라 배의 정적분과 함수의 정적분 값을 스칼라 배 한 것은 같습니다 이것을 바로 옆에 두겠습니다 이를 사용해, 우리가 무언가로 곱하고 나누어 7이 나타나게 할 수 있을까요? 글쎄요, 우리는 7을 곱하고 나눌 수 있습니다 이것을 상상해보세요 원래 정적분 문제를 다시 쓰겠습니다 밑으로 넘어가기 위해 작은 화살표를 하나 그리겠습니다 우리는 원래 정적분에 1/7과 7을 곱하고 뒤에 √(7x+9) dx를 붙여서 다시 쓸 수 있습니다 1/7을 정적분의 밖으로 뺄 수 있습니다 그럴 필요는 없지만 다시 쓰자면 이것은 7√(7x+9) dx의 정적분 값의 1/7배가 됩니다 u를 7x+9로 설정했으면 이제 우리는 도함수를 찾을 수 있나요? 당연하죠 7은 바로 여기 있거든요 du를 다른 방식으로 쓰면 du는 7dx입니다 그래서 du는 dx의 7배이죠 이 부분들은 du와 같습니다 u에 관해서 신경을 쓰고 싶다면 그것은 바로 7x+9입니다 이것이 u입니다 그럼 u에 관한 문자로 이 부정적분을 다시 써보죠 이것은 정적분의 1/7배와 같은데요 7을 맨 뒷부분에 놓겠습니다 그러면 √u du라고 다시 쓸 수 있으며 dx의 7배는 du입니다 이것을 다시 1/2제곱을 바꿔 쓸 수 있습니다 이것은 우리가 적분 규칙을 쓰기 쉽게 만들어 줍니다 그래서 우리는 이 식을 u 1/2제곱 du의 정적분 값의 1/7배라고 쓸 수 있습니다 더 깔끔하게 만들어보죠 같은 색으로 쓰기 위해서 이 u를 하얀색을 쓸게요 du는 이 du와 같습니다 √u의 부정적분은 뭘까요? 우리는 u의 지수를 1 증가시켜서 1/7을 앞으로 빼놓는 것을 잊지 않으면서 1/7배가 될 것입니다 여기서 지수를 증가시키면 1/2더하기 1인 3/2가 u의 지수가 됩니다 그래서 u의 3/2이 됩니다 그리고 이 수에 3/2의 역수인 2/3을 곱합니다 그리고 (2/3)u의 3/2제곱의 도함수가 u의 1/2 제곱임을 확인해보세요 이렇게 값을 얻었습니다 전체 부정적분에 1/7배를 할 때부터 우리는 괄호 안으로 c를 집어 넣을 수 있습니다 상수가 있어야 하니까요 1/7을 분배할 수도 있습니다 결과적으로 (2/21)u의 3/2제곱을 얻습니다 (1/7)c는 그냥 다른 상수로 바뀌어도 됩니다 이런식으로 그 상수를 써보겠습니다 전 상수를 c1, 이 상수를 c2라고 하죠 그냥 임의의 상수일 뿐입니다 그럼 끝났네요 오, 아직 안끝났네요 아직 u에 관한 식이 남아있네요 치환을 해제해 봅시다 (2/21)u의 3/2제곱을 구할 때 우리는 u가 무엇인지 이미 압니다 u는 바로 7x+9이죠 단조로움을 없애기 위해 새로운 색을 넣겠습니다 그래서 이 수는 (2/21)*(7x+9)의 (3/2)제곱 +c가 됩니다 그럼 됐네요 처음에 u-치환이 적용되는 것 같지 않아 명백해보이지 않더라도 어려운 적분을 풀 수 있게 되었습니다