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주요 내용

u로 치환: 정적분

정적분에서 치환을 사용할 때, 적분의 범위에 대해 생각해야 합니다.

동영상 대본

이번 시간에는 정적분에서 u를 이용한 치환을 적용하는 연습을 해보려고 합니다 1부터 2까지의 적분이 있습니다 1부터 2까지의 적분이 있습니다 2x(x²+1)³dx 2x(x²+1)³dx u를 이용한 치환을 한다고 미리 얘기했지만 치환을 언제 하는지 인식할 수 있는 것이 재밌는 부분입니다 여기서 은연중에 주어지는 핵심은 (x²+1)³이 있고 (x²+1)³이 있고 x²+1의 도함수도 있다는 것입니다 즉, 2x이죠 따라서 치환할 수 있습니다 따라서 치환할 수 있습니다 u = x² + 1 du/dx = 2x du/dx = 2x 미분 형태로 나타낼 수 있습니다 수학적으로 변형시키는 방법은 양변에 dx를 곱하는 것입니다 따라서 du = 2x dx 입니다 적분의 이 부분은 이렇게 다시 나타낼 수 있습니다 이렇게 다시 나타낼 수 있습니다 나타내 보자면 적분기호가 있고 적분한계를 생각해보죠 u³이 있고 u³이 있고 u³이 있고 이 부분이죠 2x dx가 있습니다 2x dx가 있습니다 원래는 단순히 2x(x²+1)³dx 인데 원래는 단순히 2x(x²+1)³dx 인데 2x dx = du 이므로 2x dx = du 이므로 둘은 du입니다 둘은 du입니다 재밌는 문제를 내보죠 이는 부정적분이 아니므로 이는 부정적분이 아니므로 정적분입니다 그렇다면 적분한계는 어떻게 될까요? 두 가지 접근 방법이 있습니다 하나는 적분한계를 바꾸는 방법입니다 여기서는 x=1, x=2 이지만 u에 대하여 적분하였으므로 적분한계를 유지하는 즉, 정적분을 유지하는 방법은 즉, 정적분을 유지하는 방법은 u=? 에서 u=?로 바꾸는 것입니다 u=? 에서 u=?로 바꾸는 것입니다 적분한계를 구하면 x=1일 때 u는 무엇일까요? x=1일 때 1² + 1 = 2 이므로 여기서는 u=2 입니다 x=2일 때 u는 무엇일까요? 2² = 4이고 4 + 1 = 5 입니다 따라서 u=5 입니다 보통 u=2, u=5 이렇게 나타내지 않죠 2와 5로만 나타냅니다 u에 대하여 적분하고 있으므로 u=2, u=5를 추측할 수 있기 때문이죠 따라서 2부터 5까지의 u³의 적분으로 다시 나타낼 수 있습니다 왜 한계가 바뀌었는지 깨닫는 것이 아주 중요합니다 u에 대하여 적분하고 있고 여기서 한 것은 치환입니다 x=1일 때 u=2이고 x=2일 때 u = 2²+1 = 5 입니다 계산하면 계산하면 u³의 부정적분은 u⁴/4 입니다 2에서 5까지에 대해 계산합니다 5⁴/4 - 2⁴/4 입니다 5⁴/4 - 2⁴/4 입니다 식을 간단하게 나타낼 수 있지만 이 정적분을 그냥 계산하였습니다 다른 방법으로는 다른 방법으로는 x에 대하여 부정적분을 하고 중간에 u를 이용하여 치환하는 것입니다 이렇게 해봅시다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 대수적으로 이 식이 어떻게 되든지 대수적으로 이 식이 어떻게 되든지 x=1부터 x=2까지 계산할 것입니다 여기서 u를 이용하여 치환한다면 이렇게 되겠죠 같은 방식으로 치환하여 u³ du 가 됩니다 u³ du 가 됩니다 다시 한번 이 전체 식의 x=2에 대한 값에서 x=1에 대한 값을 뺍니다 x=1에 대한 값을 뺍니다 이를 계산하면 u⁴/4 이 되고 u⁴/4 이 되고 다시 한번 x=2에서 계산한 값에서 x=1에서 계산한 값을 뺍니다 다시 되돌릴 수도 있습니다 보다시피 u=x²+1 이므로 (x²+1)⁴/4 과 같습니다 (x²+1)⁴/4 과 같습니다 x=2와 x=1에서 계산합니다 x=2와 x=1에서 계산합니다 위와 같다는 것을 눈치챘을 것입니다 x=2를 대입하면 2² + 1 = 5이므로 5⁴/4가 됩니다 1² + 1 = 2 2⁴/4도 여기 있습니다 같은 결과를 얻게 되는 다른 방법은 정적분을 구하고 적분한계를 바꾼 다음 u에 대한 식으로 나타내는 한 가지 방법이 있고 다른 방법은 부정적분을 계산하고 중간 단계에서 u를 이용한 치환을 한 뒤 다시 되돌린 다음 기존의 적분한계에서 계산하는 것입니다