치환: 𝘶 설정하기 (더 많은 예시)

이번 시간에는 언제 u를 이용한 치환을 하고 적절한 u를 고르는 방법을 더 연습할 것입니다 다음과 같은 부정적분이 있습니다 다음과 같은 부정적분이 있습니다 (ln(x))^10 / x · dx (ln(x))^10 / x · dx (ln(x))^10 / x · dx (ln(x))^10 / x · dx u를 이용한 치환이 되나요? 된다면 어떻게 치환하나요? u를 이용한 치환의 핵심은 함수와 그 도함수가 있냐는 것입니다 여러분도 바로 알았다시피 lnx의 도함수는 1/x입니다 명확하게 만들어 보자면 (ln(x))^10 · 1/x · dx (ln(x))^10 · 1/x · dx (ln(x))^10 · 1/x · dx 이제 잘 보이네요 함수 lnx를 열 번 제곱하였습니다 그러나 여기에 도함수도 존재합니다 1/x이죠 따라서 치환할 수 있습니다 u = lnx 라고 할 수 있습니다 u = lnx 라고 할 수 있습니다 lnx를 고른 이유는 도함수가 여기 있다는 것을 도함수가 여기 있다는 것을 확인할 수 있기 때문이죠 확인할 수 있기 때문이죠 따라서 du/dx = 1/x 이고 du/dx = 1/x 이고 즉 du = 1/x · dx 입니다 즉 du = 1/x · dx 입니다 여기 있네요 이 부분이 du이고 이 부분은 u입니다 따라서 이렇게 간단히 할 수 있습니다 ∫u^10·du ∫u^10·du ∫u^10·du 이제 이 식을 계산하고 부정적분을 구한 뒤 u를 lnx로 다시 되돌려서 정확한 부정적분 값을 계산합니다 다른 문제를 풀어보죠 다음 식이 있습니다 다음 식이 있습니다 재밌는 것을 해보죠 재밌는 것을 해보죠 ∫tanx dx u를 이용한 치환이 가능한가요? 우선 tanx가 있습니다 이 도함수는 무엇일까요? 하나 흥미로운 점은 tan를 sin과 cos로 나타낼 수 있다는 것입니다 따라서 ∫sinx/cosx dx 입니다 따라서 ∫sinx/cosx dx 입니다 따라서 ∫sinx/cosx dx 입니다 이제 물어보겠죠 무슨 식을 u로 치환하나요? 여러 방법이 있습니다 sinx의 도함수는 cosx지만 여기서는 도함수를 나눕니다 위에서는 반대로 곱했죠 하지만 더 재밌는 사실은 cosx의 도함수는 -sinx라는 것입니다 -sinx는 없지만 살짝 변형시켜 주면 됩니다 -1을 두 번 곱하면 되죠 따라서 -(-sinx)라고 할 수 있습니다 마이너스 부호 하나는 적분 밖에 고정시킵니다 적분 성질을 바로 적용할 수 있게 말이죠 이것은 동일합니다 적분 밖과 안에 마이너스 부호를 두었으므로 적분 밖과 안에 마이너스 부호를 두었으므로 이는 cosx의 도함수가 됩니다 되게 재밌네요 이 식을 다시 나타내 봅시다 다음과 같습니다 -∫1/cosx (-sinx) dx -∫1/cosx (-sinx) dx -∫1/cosx (-sinx) dx 어떤 값을 u로 할지 감이 오시나요? 분모에 cosx가 있고 도함수도 있으므로 u를 cosx로 하면 어떨까요? u = cosx 라면 du/dx = -sinx 입니다 du/dx = -sinx 입니다 혹은 du = -sinx dx 입니다 이 부분은 du이고 이 부분은 당연히 u가 됩니다 전체 식을 다음과 같이 간단히 합니다 전체 식을 다음과 같이 간단히 합니다 -∫1/u du -∫1/u du -∫1/u du 계산하기 훨씬 쉽습니다 이 식을 계산한 뒤 u를 cosx로 되돌려줍니다