치환: 𝘶 설정하기

이번 동영상에서는 u로 치환하는 첫 단계를 연습해 보겠습니다 u로 치환하는 첫 단계를 연습해 보겠습니다 이는 치환을 처음 배울 때 보통 가장 어려운 부분인데 바로 u로 치환하는 것이 필요한지 그리고 무엇을 u로 정의할지 구분하는 것입니다 예제로 시작해 봅시다 (2x + 1)√(x² + x) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 (2x + 1)√(x² + x) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 (2x + 1)√(x² + x) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 여기에 u로의 치환을 적용할 수 있나요? 그렇다면 u는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보세요 u로 치환하는 것은 합성함수의 미분법을 반대로 하는 것과 같다는 것만 기억하면 됩니다 합성함수의 미분법을 기억해 보면 합성함수가 있을 때 f(g(x)라고 해보죠 이것의 x에 대한 도함수를 구하면 이것의 x에 대한 도함수를 구하면 이것은 내부 함수에 대한 바깥 함수의 도함수 내부 함수에 대한 바깥 함수의 도함수 그러니까 f'(g(x))에 그러니까 f'(g(x))에 내부 함수에 대한 내부 함수의 도함수를 곱한 것입니다 내부 함수에 대한 내부 함수의 도함수를 곱한 것입니다 따라서 u로 치환할 때는 적분에 이런 형태가 보이는지 확인해야 합니다 그 도함수가 곱해지는 내부 함수 g(x)로 정할 만한 것이 있을까요? 여기에서 볼 수 있습니다 x² + x를 보면 이걸 u라고 했을 때 그 도함수는 무엇일까요? x² + x의 도함수는 2x + 1입니다 따라서 이렇게 치환하면 됩니다 u가 x² + x라고 하면 x에 대한 u의 도함수 du dx는 x에 대한 u의 도함수 du dx는 2x + 1과 같습니다 미분을 변수나 수로 생각하면 양변을 dx로 곱할 수 있고 약간 비논리적인 수학이긴 하지만 여기에선 적절합니다 따라서 (2x + 1) dx와 같습니다 여기에서 흥미로운 점은 여기에 u가 있는데 (2x + 1) dx도 있습니다 사실 제가 곧 쓰는 것은 일반적인 방법은 아닌데 그렇게 해 볼게요 이건 세 개의 곱으로 보아야 합니다 이건 세 개의 곱으로 보아야 합니다 사람들은 종종 dx를 적분 기호의 일부라 생각하곤 하는데 다시 정리하면 타당하게 만들 수 있습니다 √(x² + x)(2x + 1) dx의 부정적분이라 할 수 있습니다 √(x² + x)(2x + 1) dx의 부정적분이라 할 수 있습니다 더 확실히 하고 싶으면 이걸 모두 괄호에 넣을 수도 있습니다 이걸 모두 괄호에 넣을 수도 있습니다 따라서 여기에 이것이 u고 이것이 du입니다 이걸 다시 쓰면 이걸 다시 쓰면 이건 √(u) du의 부정적분입니다 x² + x가 u이기 때문입니다 훨씬 계산하기 쉽죠 아직 혼란스럽다면 u^1/2로 다시 쓰면 알아차릴 수도 있을 겁니다 u^1/2로 다시 쓰면 알아차릴 수도 있을 겁니다 그러면 이제 멱의 법칙을 역으로 사용해 계산할 수 있습니다 그리고 치환을 되돌리면 됩니다 이것의 부정적분을 구하고 나면요 u를 다시 x의 방정식으로 바꾸면 됩니다 u를 다시 x의 방정식으로 바꾸면 됩니다