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동영상 대본

부정적분 (3x^2+2x)x{e의 (x^3+x^2)제곱} dx 가 있다고 생각해봅시다. 어떻게 풀까요? 일단 이것을 보면 정말 복잡한 적분처럼 보이죠, 이 다항식이 이 지수표현과 곱해졌고 심지어 여기 또 다른 다항식이 있네요. 여기서 핵심은 u 치환을 사용하는 것입니다. 어떻게 u 치환을 사용하는 걸 알 수 있는지 알려드리겠습니다. 시간이 지나 여러분은 이 문제를 암산으로 풀 수 있을 겁니다. u 치환은 근본적으로 연쇄 법칙을 푸는 겁니다. 연쇄법칙은 다른 영상에서 더 심도 있게 다루겠습니다. 하지만 여기 이 말도 안되는 지수, (x^3 + x^2)가 있을 때 그것에 대해 생각해보는 방식은 알려드리죠. 이것은 (x^3 + x^2)의 도함수입니다. u치환을 사용할 수 있다는 큰 힌트이죠. 앞서 말한 것들을 확인했을 때 우리는 ( x^3 + x^2)=u로 둘 수 있습니다. 이제 u의 x에 대한 도함수는 무엇일까요? 여러번 해봤죠? du/dx=3x^2 + 2x 입니다. 이걸 다르게 적어보면 du/dx는 사실 (u의 미분)/(x의 미분)을 나타내는 분수가 아니라 하나의 표기법입니다. 하지만 자주 분수라고 오해받죠. 이를 염두에 두고 du를 구하고 싶다면 이것을 미분형식으로 본다면 x의 변화량에 대한 u의 변화량이죠. 양변에 dx를 곱해서 이것을 분수로 생각하면 이는 올바른 미분형식을 나타낼겁니다. du=(3x^2 + 2x)dx 가 남았죠. 제가 왜 이런 풀이들을 한 걸까요? (3x^2 + 2x)가 여기 dx에 곱해졌죠. 이 원래 적분을 (3x^2+2x)x{e의 (x^3+x^2)제곱} dx 로 다시 쓰자면 여기 자홍색으로 쓴 부분이 du와 똑같다는 사실이 보이나요? 여기 x^3 + x^2 는 u와 같은 거죠. 그래서 이 전체 적분은 -이제 여러분들은 이것이 식을 보다 단순화 시킨다는 것을 알겠죠.- 순서를 바꿔 적어보자면 여기 du를 다른 곳에 적어 붙이면 우리가 부정적분을 풀 때 흔히 보았던 표준형에 보다 가까워집니다. 그래서 이는 (du) x(e의 u제곱)입니다. 이 식의 u에 대한 부정적분은 무엇일까요? e^u의 u에 관한 도함수나 부정적분은 모두 자기 자신입니다. 그래서 e^u 그대로 이고 상수가 더해질 가능성이 있으니 C를 더합시다. 이제 이것을 x에 관해 풀기 위해 u로 된 치환을 풉시다. 우리는 u가 뭐와 같은지 알죠. 그래서 우리는 이것을 e의 -u를 쓰는 대신- ( x^3 + x^2)의 제곱이라고 나타냅니다. 이제 C를 더하면 드디어 끝났네요. 부정적분을 구했습니다. 여러분에게 이 식의 도함수를 구해보라고 하고 싶군요. 여러분이 연쇄 법칙을 통해 여기 이 식을 그대로 구할 것이라고 생각합니다.