์ฃผ์ ๋ด์ฉ
์ ๋ถํ
๋จ์ 1: ์์ 13
์นํ์ ๋ถ- ์นํ์ด๋?
- ์นํ: ์์๋ฅผ ๊ณฑํ๊ธฐ
- ์นํ: ๐ถ ์ค์ ํ๊ธฐ
- ์นํ: ๐ถ ์ค์ ํ๊ธฐ (๋ ๋ง์ ์์)
- ์นํ
- ์นํ: ๐ถ ์ค์ ํ๊ธฐ
- ์นํ ์ ๋ถ: ์ ๋ฆฌํจ์
- ์นํ ์ ๋ถ: ๋ก๊ทธ ํจ์
- ์นํ ์ ๋ถ ํ์ธ ๋ฌธ์
- u๋ก ์นํ: ๋ถ์ ์ ๋ถ
- u๋ก ์นํ: ์ ์ ๋ถ
- ์ ์ ๋ถ์ ๊ฐ์ง๊ณ ๐ถ๋ก ์นํ
- u๋ก ์นํ: ์ ์ ๋ถ
- ๐ถ๋ก ์นํ: ์ง์ ํจ์์ ์ ์ ๋ถ
- ๐ถ์นํ: ํน๋ณํ ๊ธฐ๋ฅ
- ๐ถ์นํ: ๋ ๋ฒ ์นํํ๊ธฐ
- ๐ถ์นํ: ์ฌํ
ยฉ 2023 Khan Academy์ด์ฉ์ฝ๊ด๊ฐ์ธ์ ๋ณด ๋ณดํธ์ ์ฑ
์ฟ ํค ๋ฐฉ์นจ
๐ถ์นํ: ๋ ๋ฒ ์นํํ๊ธฐ
cos(5x)/e^[sin(5x)]์ ๋ถ์ ์ ๋ถ ์ฐพ๊ธฐ. ์ด๊ฒ์ ํ๊ธฐ ์ํด์ ๐ถ์นํ์ ๋ ๋ฒ ํด์ผํฉ๋๋ค. ๋ง๋ ์ด: ์ด๋ง ์นธ ์ ์๋
๋ํ์ ์ฐธ์ฌํ๊ณ ์ถ์ผ์ ๊ฐ์?
ํฌ์คํธ๊ฐ ์์ง ์์ต๋๋ค.
๋์์ ๋๋ณธ
cos(5x)/e^sin(5x)์ ์ ๋ถ์ ๊ตฌํ ์ ์๋์ง ์ดํด๋ด
์๋ค ๋ฐ์ ์ฌ ๊น๋ง๊ท๊ฐ ์ธ๊ณ ์๋ค์ ๊ทธ๋๋ ์ง์คํด ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค ์นํ์ ๋ถ๋ฒ์ด ์ ์ ํ ๋ฐฉ๋ฒ์ผ์ง ์๊ฐํด ๋ด
์๋ค ์ฒ์์ u=sin(5x)๋ก ์นํํ๋ฉด ๋์ง ์์๊น ํ๋ ์ ํน์ด ์
๋๋ค u=sin(5x)๋ก ์นํํ๋ฉด ๋ถ์์๋ du์ ๋น์ทํ ๊ฒ์ด ์์ต๋๋ค ํ์ธํด ๋ด
์๋ค du๋ฅผ ๊ตฌํ๊ธฐ ์ํด ํฉ์ฑํจ์์ ๋ฏธ๋ถ๋ฒ์
์ด์ฉํด du/dx๋ฅผ ๊ตฌํ๊ฒ ์ต๋๋ค 5x๋ฅผ ๋ฏธ๋ถํ๋ฉด 5์
๋๋ค ์ฌ๊ธฐ์ sin(5x)๋ฅผ 5x๋ก ๋ฏธ๋ถํ cos(5x)๋ฅผ ๊ณฑํด์ค๋๋ค ์ ๋ถํ ๋ ์ด์ฉํ ์ ์๋๋ก ๋ฏธ๋ถ์์์ ๋ํ ์์ผ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด du=5cos(5x)dx์
๋๋ค ๋ค์ ์ ๋ถ์์์ ๋ถ์๋ฅผ ๋ณด๋ฉด du๊ฐ ์๋ ๊ฒ์ ์๋๋ค์ cos(5x)dx๋ง ์๊ตฐ์ 5cos(5x)์๋ ๋ค๋ฆ
๋๋ค ์ด ๋ฌธ์ ๋ฅผ ์ด๋ป๊ฒ ํด๊ฒฐํ ๊น์? ๊ฐ๋จํ 5๋ฅผ ๊ณฑํ๊ณ ๋๋์ด์ฃผ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค ๊ทธ๋๋ ๊ฐ์ ๊ฐ์ต๋๋ค ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ๋ถ๋ชจ์๋ u๊ฐ ๋ถ์์๋ du๊ฐ ์์ต๋๋ค ํ๋์์ผ๋ก ํ์ํด ๋ณด๋ฉด du๊ฐ์ ๋ฐ๋ก 5cos(5x)dx์
๋๋ค ์์ ๋ค์ ์จ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค 1/5์ ๋ณด๋ผ์์ผ๋ก ํ์ํ๊ฒ ์ต๋๋ค ๊น๋ง๊ท ์๋ฆฌ ์ ๋ค๋ฆฌ์์ฃ ? ๊น๋ง๊ท๊ฐ ์ง์ฆ์ด ๋ฌ๋ ๋ณด๊ตฐ์ ๊ทธ๋์ ๋ฐ๋ ์์ ํ๋์์ผ๋ก ์จ ๋ณด๋ฉด du/e^u์ ์ ๋ถ์ 1/5์ด ๋ฉ๋๋ค ์ด๊ฒ์ ์์ํจ์๋ ์ด๋ป๊ฒ ๊ตฌํ ๊น์? ์ด๋ป๊ฒ ํ์๊ฒ ์ต๋๊น? ๊ทธ๋ฅ ์์ํจ์๋ฅผ ๊ตฌํ๊ธฐ๋ ํ๋ค์ด ๋ณด์ด๋๊ตฐ์ ๊ทธ๋์ ์์ ๋ค์ ์ฐ๊ฒ ์ต๋๋ค 1/5 ๊ณฑํ๊ธฐ e^(-u)์ ์ ๋ถ์ด ๋๊ฒ ๊ตฐ์ e^(-u)์ ์ ๋ถ์ด ๋๊ฒ ๊ตฐ์ ๊ทธ๋์ ๋์จ ๊ฒ์ ๋๋ค๋ฅธ ์นํ์ ๋ถ์
๋๋ค u๋ ์ด๋ฏธ ์ฐ์ด๊ณ ์์ผ๋ w๋ก ์นํ์ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค ์์ฐ์ผ๋ก๋ ์ถฉ๋ถํ๊ฒ ์ง๋ง ์ ํ์ฑ์ ๊ธฐํ๋ ์ฐจ์์์ ์นํ์ ๋ถ์ ํด ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค ์ ๋ถ ๊ธฐํธ ์์ ์์ด e^u์ด์์ผ๋ฉด ์ฌ์ ๊ฒ ์ฃ e^u๋ฅผ ์ ๋ถํ๋ฉด e^u๋๊น์ ๊ทธ๋ฌ๋ e ์์ ์ง์๋ฅผ ์์๊ฐ ์๋ ์์๋ก ๋ฐ๊ฟ๋ด
์๋ค ์ด์ ์๊น์ด ๋ถ์กฑํ ์ง๊ฒฝ์ด๊ตฐ์ w=-u๋ก ๋ฐ๊ฟ๋ด
์๋ค ์ด ๊ฒฝ์ฐ์ dw/du๋ -1์ด๋ dw๋ฅผ ๊ตฌํ๊ธฐ ์ํด ๋ฏธ๋ถ์์์ ๋ํ ์์ ์ฐ๋ฉด dw=-du๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์ฌ๊ธฐ ๋๊ทธ๋ผ๋ฏธ๋ w๋ค์ dw๋ ์ด๋ ์์๊น์? du๋ง ์๋ค์ -du๋ ์์ต๋๋ค ํ์ง๋ง -1์ ๊ณฑํ๊ณ ๋ค์ ๊ณฑํด์ ์ป์ ์ ์์ต๋๋ค ๊ทธ๋๋ ๊ฐ์ ๊ฐ์ง์ -1์ -1์ ๊ณฑํ๋ฉด 1์ด๋๊น์ -1์ ์ฌ๊ธฐ์ ์ ์ด๋ ์ฌ๊ธฐ์ ์ ์ด๋ ๋ฉ๋๋ค ์ด๋ฐ ์์ผ๋ก์ ์ด๋ ๊ฒ ํ๋ฉด du(-1)์ ๋ฐ๋ก -du์ ๊ฐ์ต๋๋ค ๊ทธ๋ฌ๋ ์ด๊ฒ์ dw์ ๊ฐ์ฃ ์ ๋ถ์์ ๋ค์ ์ฐ๋ฉด ์๊น์ด ์ ๋ง ๋ถ์กฑํ๋ค์ ์ด์จ๋ ์ ๋ถ์์ -1/5 ๊ณฑํ๊ธฐ e์ -u ์ ๊ณฑ ๊ทธ๋ฌ๋๊น -u ๋์ w๋ฅผ ๋ฃ์ผ๋ฉด e์ w์ ๊ณฑ์ -du๋ฅผ dw๋ก ๋ฐ๊พธ๋ฉด e^w๋ฅผ w์ ๊ดํด ์ ๋ถํ ๊ฒ๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค ์ ๋ถํ ๊ฒ๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค ์กฐ๊ธ ์ํฉ์ด ๊ฐ๋จํด์ก๋ค์ ์ด ์ ๋ถ๊ฐ์ด ๋ฌด์์ธ์ง๋ ์๊ณ ์์ต๋๋ค 1/5 e^w๋๊น์ ์ฌ๊ธฐ์ ์ ๋ถ์์ C๋ฅผ ๋ํด ์ฃผ์ด์ผ์ฃ ์นํํ ๋ณ์๋ค์ ๋ค์ ๋๋ ค์ฃผ๋ ์ผ๋ง ๋จ์์ต๋๋ค w=-u๋๊น e^w๋ e^(-u)๋๊น ์ด ์์ 1/5 e^(-u) + C์ ๊ฐ์ต๋๋ค ์์ง ๋๋ ๊ฒ ์๋๋๋ค u=sin(5x)๋๊น์ u=sin(5x)๋๊น ์์ ๋ค์ ์ฐ๋ฉด 1/5 e^(-u)๋ 1/5 e^(-sin5x)์ ๊ฐ๊ณ ์์๋ง ๋ํด ์ฃผ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค ๊ทธ๋ฐ๋ฐ ์ด ๋ฌธ์ ๋ ์นํ์ ํ ๋ฒ๋ง ํด์ ์ฝ๊ฒ ํด๊ฒฐํ ์๋ ์์ต๋๋ค ๊ทธ๋ฌ๋ฌ๋ฉด e^(-u)์ ์ ๋ถ์ ๊ตฌํด์ผ ํ์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ๋ ๊ฐ๋จํ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ๋ ๊ฐ๋จํ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์์ต๋๋ค ์ ๊ฐ ์๊ฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ค๋ช
๋๋ฆฌ์๋ฉด ์๋ ์ ๋ถ์์ธ cos(5x) / e^sin(5x)๋ฅผ ๊ณ ์ณ ์จ์ cos(5x) e^(-sin(5x))๋ก ๋ฐ๊พธ๋ ๊ฒ๋๋ค ์ด ๊ฒฝ์ฐ์๋ u๋ฅผ -sin(5x)๋ก ์นํํ ์ ์๊ฒ ๋ค์ u=-sin(5x)์ด๋ฉด ๊ทธ๋ ๋ค๋ฉด du๋ -5cos(5x)๊ฐ ๋๊ฒ ๊ตฐ์ dx๋ฅผ ๋นผ๋จน์๊ตฐ์ ์ฌ๊ธฐ์ -5๊ฐ ์์ผ๋๊น ๋ง๋ค์ฃ -5๋ฅผ ๊ณฑํ๊ณ ๋ค์ ๋๋๋๋ค ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์์ด ๋ฐ๋ก ์ ๋ฆฌ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์๋ ์๋ ๋๊ฐ์ด ๋ฐ๊ฟ์ฃผ๋ฉด ์ฌ๊ธฐ ์ด ๋ถ๋ถ์ du๊ฐ ์์ต๋๋ค ๋ณด๋ผ์์ผ๋ก ์น ํ๊ฒ ์ต๋๋ค ๋๊ฐ์ด -5๋ฅผ ๊ณฑํด์ฃผ๊ณ ๋๋์ด์ฃผ๋ฉด ์ฌ๊ธฐ ์๋ -5cos(5x)dx๊ฐ ๋ฐ๋ก du์
๋๋ค ๋ฌผ๋ก ์ฌ๊ธฐ์ ๊ณฑ์
์์๋ฅผ
๋ฐ๊พธ์ด๋ ๋ฌธ์ ๊ฐ ์๊ฒ ์ฃ ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์ ๋ถ์์ e^u๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์ด๋ ๊ฒ ๋๋ฉด ํ ๋ฒ์ ์นํ์ผ๋ก ๋ฌธ์ ๋ฅผ ์ฝ๊ฒ ํด๊ฒฐํ ์ ์์ต๋๋ค ์ด๊ฒ์ ์์ํจ์๋ -1/5 e^u + C์
๋๋ค ์ฌ๋ฌ ์์ผ๋ก ํ์ง ์์๋
์ ์์๊ฒ ์ฃ ? ๋ฐ๋ก ์ด๊ฒ๋๋ค u=-sin(5x)๋๊น ์ด ์์ -1/5 e^(-sin(5x)) + C์
๋๋ค ๋ฌธ์ ๊ฐ ํจ์ฌ ๋น ๋ฅด๊ฒ ํด๊ฒฐ๋์ฃ ๋ ๊ฐ๋จํ๊ณ ์ ๊ฑฐ๋ญํ๋ค ๋ณด๋ฉด ์์ฐ์ผ๋ก๋ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํ ์ ์๊ฒ ๋ฉ๋๋ค ์ฒ์์ ๋ง์ฝ u=sin(5x)๋ผ๊ณ ์นํ์ ํ์ด๋ ๊ด์ฐฎ์ต๋๋ค ์นํ ํ๋๋ฅผ ๋ ํด์ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํด๊ฒฐํ ์ ์์ผ๋๊น์ ์ ๋ ๋ฐ์ ๊น๋ง๊ท๊ฐ
๊ฝฅ๊ฝฅ๋๋ ์ํฉ์์๋ ์์์ ์ดฌ์ํ์ต๋๋ค