𝘶치환: 두 번 치환하기

cos(5x)/e^sin(5x)의 적분을 구할 수 있는지 살펴봅시다 밖에 웬 까마귀가 울고 있네요 그래도 집중해 보겠습니다 치환적분법이 적절한 방법일지 생각해 봅시다 처음엔 u=sin(5x)로 치환하면 되지 않을까 하는 유혹이 입니다 u=sin(5x)로 치환하면 분자에는 du와 비슷한 것이 있습니다 확인해 봅시다 du를 구하기 위해 합성함수의 미분법을 이용해 du/dx를 구하겠습니다 5x를 미분하면 5입니다 여기에 sin(5x)를 5x로 미분한 cos(5x)를 곱해줍니다 적분할 때 이용할 수 있도록 미분요소에 대한 식으로 나타내면 du=5cos(5x)dx입니다 다시 적분식에서 분자를 보면 du가 있는 것은 아니네요 cos(5x)dx만 있군요 5cos(5x)와는 다릅니다 이 문제를 어떻게 해결할까요? 간단히 5를 곱하고 나누어주면 됩니다 그래도 값은 같습니다 그러면 분모에는 u가 분자에는 du가 있습니다 파란색으로 표시해 보면 du값은 바로 5cos(5x)dx입니다 식을 다시 써보겠습니다 1/5은 보라색으로 표시하겠습니다 까마귀 소리 안 들리시죠? 까마귀가 짜증이 났나 보군요 그래서 바뀐 식은 파란색으로 써 보면 du/e^u의 적분의 1/5이 됩니다 이것의 원시함수는 어떻게 구할까요? 어떻게 하시겠습니까? 그냥 원시함수를 구하기는 힘들어 보이는군요 그래서 식을 다시 쓰겠습니다 1/5 곱하기 e^(-u)의 적분이 되겠군요 e^(-u)의 적분이 되겠군요 그래서 나온 것은 또다른 치환적분입니다 u는 이미 쓰이고 있으니 w로 치환을 하겠습니다 암산으로도 충분하겠지만 정확성을 기하는 차원에서 치환적분을 해 보겠습니다 적분 기호 안의 식이 e^u이었으면 쉬웠겠죠 e^u를 적분하면 e^u니까요 그러니 e 위의 지수를 음수가 아닌 양수로 바꿔봅시다 이제 색깔이 부족할 지경이군요 w=-u로 바꿔봅시다 이 경우에 dw/du는 -1이니 dw를 구하기 위해 미분요소에 대한 식을 쓰면 dw=-du가 됩니다 여기 동그라미는 w네요 dw는 어디 있을까요? du만 있네요 -du는 없습니다 하지만 -1을 곱하고 다시 곱해서 얻을 수 있습니다 그래도 값은 같지요 -1에 -1을 곱하면 1이니까요 -1은 여기에 적어도 여기에 적어도 됩니다 이런 식으로요 이렇게 하면 du(-1)은 바로 -du와 같습니다 그러니 이것은 dw와 같죠 적분식을 다시 쓰면 색깔이 정말 부족하네요 어쨌든 적분식은 -1/5 곱하기 e의 -u 제곱 그러니까 -u 대신 w를 넣으면 e의 w제곱에 -du를 dw로 바꾸면 e^w를 w에 관해 적분한 것과 같습니다 적분한 것과 같습니다 조금 상황이 간단해졌네요 이 적분값이 무엇인지는 알고 있습니다 1/5 e^w니까요 여기에 적분상수 C를 더해 주어야죠 치환한 변수들을 다시 돌려주는 일만 남았습니다 w=-u니까 e^w는 e^(-u)니까 이 식은 1/5 e^(-u) + C와 같습니다 아직 끝난 게 아닙니다 u=sin(5x)니까요 u=sin(5x)니까 식을 다시 쓰면 1/5 e^(-u)는 1/5 e^(-sin5x)와 같고 상수만 더해 주면 됩니다 그런데 이 문제는 치환을 한 번만 해서 쉽게 해결할 수도 있습니다 그러러면 e^(-u)의 적분을 구해야 했습니다 하지만 더 간단한 방법이 있습니다 하지만 더 간단한 방법이 있습니다 제가 생각했던 방법을 설명드리자면 원래 적분식인 cos(5x) / e^sin(5x)를 고쳐 써서 cos(5x) e^(-sin(5x))로 바꾸는 겁니다 이 경우에는 u를 -sin(5x)로 치환할 수 있겠네요 u=-sin(5x)이면 그렇다면 du는 -5cos(5x)가 되겠군요 dx를 빼먹었군요 여기에 -5가 없으니까 만들죠 -5를 곱하고 다시 나눕니다 그러면 식이 바로 정리가 됩니다 원래 식도 똑같이 바꿔주면 여기 이 부분에 du가 있습니다 보라색으로 칠하겠습니다 똑같이 -5를 곱해주고 나누어주면 여기 있는 -5cos(5x)dx가 바로 du입니다 물론 여기서 곱셈 순서를 바꾸어도 문제가 없겠죠 그러면 적분식은 e^u가 됩니다 이렇게 되면 한 번의 치환으로 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다 이것의 원시함수는 -1/5 e^u + C입니다 여러 색으로 하지 않아도 잘 아시겠죠? 바로 이겁니다 u=-sin(5x)니까 이 식은 -1/5 e^(-sin(5x)) + C입니다 문제가 훨씬 빠르게 해결됐죠 더 간단하고요 거듭하다 보면 암산으로도 문제를 풀 수 있게 됩니다 처음에 만약 u=sin(5x)라고 치환을 했어도 괜찮습니다 치환 하나를 더 해서 문제를 해결할 수 있으니까요 저는 밖에 까마귀가 꽥꽥대는 상황에서도 영상을 촬영했습니다