𝘶치환: 심화

칸아카데미의 게시판을 보던 중 Bud Denny가 페이스북 페이지에 게시한 문제를 해결해달라는 글을 보았습니다 모두 흥미로워할 문제일 것 같습니다 문제는 ∫(2^lnx)/x dx입니다 문제는 ∫(2^lnx)/x dx입니다 메시지 게시판에 Abhi Kanna가 풀이를 올려주었는데 올바른 풀이지만 많이들 궁금해하는 문제일 것 같아 짧은 영상으로 만들고자 합니다 분자에 lnx가 있는 이런 형태의 적분은 어디서부터 시작해야 할까요? 가장 먼저 떠오르는 것은 ∫(1/x)2^lnx dx와 다를 것이 없다는 사실입니다 기존 함수식의 일부분을 떼어낸 식과 그 식의 도함수 식이 곱해져 있습니다 lnx를 x에 대해 미분한 도함수는 1/x과 같기 때문입니다 1/x과 같기 때문입니다 식의 형태로 보았을 때 어떤 함수식과 그 도함수 식이 곱해져 있기 때문에 치환 적분을 이용할 수 있습니다 직접 쓰면서 치환해 봅시다 lnx를 u라고 치환하면 u=lnx입니다 관례에 따라 변수 u로 치환했지만 어떤 변수로 치환해도 무방합니다 u=lnx라면 u를 x에 대해 미분한 du/dx는 1/x입니다 조금 더 쉽게 설명하자면, du=1/x의 양변을 dx로 나눈다고 볼 수 있습니다 치환한 u를 대입하여 ∫(1/x)2^lnx dx를 정리해 봅시다 ∫(1/x)2^lnx dx를 정리해 봅시다 u=lnx이며 u=lnx이며 1/x dx는 du와 같으므로 1/x dx는 du와 같으므로 다른 색으로 써보면 다른 색으로 써보면 ∫2^u du가 됩니다 ∫2^u du가 됩니다 간단히 정리했지만 여전히 적분의 형태가 복잡합니다 현재까지 우리는 a^x 형태의 적분에 대한 공식은 배운 적이 없습니다 우리가 배운 적 있는 형태의 적분은 e의 x제곱의 적분으로 e의 x제곱의 적분으로 우리는 ∫e^x dx=e^x+C라는 공식을 알고 있는데 ∫2^u du를 위와 같은 형태로 만든다면 조금 더 쉽게 적분할 수 있을 것으로 생각합니다 ∫2^u du라는 식을 어떻게 나타낼 수 있을까요? 먼저 2를 e에 대해 나타내보면 먼저 2를 e에 대해 나타내보면 e의 지수에 ln2가 와야 하기 때문에 e의 지수에 ln2가 와야 하기 때문에 2=e^ln2입니다 2=e^ln2입니다 이는 자연로그 ln의 정의 e^lnx=x이기도 합니다 수식 2=e^ln2를 대입하여 수식 2=e^ln2를 대입하여 다시 써보면 다시 써보면 2의 자리에 e^ln2를 대입하고 전체 e^ln2항을 u제곱합니다 전체 e^ln2항을 u제곱합니다 ∫(e^ln2)^u du를 한 번 더 정리하고자 지수법칙 중 지수제곱의 지수제곱은 결국 두 지수의 곱의 제곱과 같다는 (xⁿ)^m=x^(nm)에 의해 (e^ln2)^u=e^(ln2×u)입니다 따라서 ∫(e^ln2)^u du는 ∫e^(ln2×u) du와 같습니다 ∫e^(ln2×u) du와 같습니다 지수 법칙에 의해 단지 두 지수를 곱했을 뿐 결과값은 같으므로 du까지 붙여주면 우리에게 익숙한 형태가 됩니다 ln2는 계산기를 이용하여 값을 구할 수 있는 상수에 불과하기 때문에 상수에 불과하기 때문에 a라고 둘 수 도 있습니다 하지만 굳이 a라고 치환하지 않아도 ∫e^au du=(1/a)e^au+C라는 ∫e^au du=(1/a)e^au+C라는 것 정도는 알고 있습니다 이는 공식 ∫e^x dx=e^x+C와 연쇄법칙에 의한 식입니다 e의 지수를 미분하면 상수항 a가 곱해지고 1/a을 곱하여 a를 상쇄하면 결국 e^au만 남게 됩니다 즉 등식의 양변이 성립하게 되는 것입니다 즉, ∫e(ln2)u du는 앞서 구한 식에서 a 대신 ln2를 대입한 1/ln2 × (뒷부분의 적분식)입니다 뒷부분의 식은 e^(ln2)u지만 식의 가독성을 위해서 교환법칙에 따라 교환법칙에 따라 ln2와 u의 순서를 바꾸겠습니다 ln2와 u의 순서를 바꾸겠습니다 결국 (1/ln2)·e^(uln2)로 결국 (1/ln2)·e^(uln2)로 식이 완성되었습니다 단순히 곱셈 순서만 바꿨기 때문에 e^(ln2)u라고 써도 무방합니다 부정적분이므로 C도 잊지 않고 더해줍니다 정리하면, 적분결과는 (1/ln2)·e^(uln2)+C인데 마지막 마무리로 치환했던 부분을 다시 x에 대한 식으로 나타내야 합니다 이에 앞서 식을 조금 정리하자면 자연로그의 성질에 의해 자연로그의 성질에 의해 a·lnb=lnb^a입니다 a·lnb=lnb^a입니다 즉, ln 앞의 상수는 ln 뒤에 오는 자연로그 진수의 ln 뒤에 오는 자연로그 진수의 지수가 됩니다 따라서 u·ln2는 ln2^u과 같습니다 따라서 u·ln2는 ln2^u과 같습니다 역도함수에 이를 대입해 적분결과를 (1/ln2)e^(ln2^u)+C라고 (1/ln2)e^(ln2^u)+C라고 정리할 수 있습니다 그렇다면 e^(ln2^u)는 무엇일까요? 로그 정의에 의하면 ln2는 값이 2가 되기 위한 e의 지수입니다 ln2는 값이 2가 되기 위한 e의 지수입니다 따라서 e의 ln2^u제곱은 2^u가 됩니다 최종식을 간단하게 정리하면 (1/ln2)2^u입니다 (1/ln2)2^u입니다 2 대신 a를 사용하여 더 일반적인 식으로 나타내 보겠습니다 하지만 어떤 수 a는 모두 e^lna 라고 나타낼 수 있습니다 e를 lna 제곱하면 결과값으로 a를 얻기 때문입니다 다시 식으로 돌아와서 다시 식으로 돌아와서 치환했던 u를 x에 대한 식으로 바꿉니다 앞서 u=lnx라고 치환한 바에 따라 앞서 u=lnx라고 치환한 바에 따라 u의 자리에 lnx를 대입합니다 원래 문제로 돌아가 원래 문제로 돌아가 ∫(2^lnx)/x dx의 답을 구해보면 ∫(2^lnx)/x dx의 답을 구해보면 1/ln2(2^lnx)+C입니다 1/ln2(2^lnx)+C입니다 이로써 최종적인 답을 구하는데 성공했습니다 위치로 인해 헷갈릴 수도 있는데 2^lnx는 분모의 일부가 아닙니다 드디어 끝입니다 비교적 깔끔하게 풀이 가능한 문제를 제공해준 Bud에게 감사를 보냅니다