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주요 내용

정적분을 가지고 𝘶로 치환

정적분에 u치환을 적용하는 것은 부정적분에 적용하는 것과 아주 비슷한데, 추가적인 단계가 있습니다: 적분의 한계를 감안하는 것입니다. integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab를 구해보며 이 의미에 대해 알아봅시다.
start color #7854ab, 2, x, end color #7854abstart color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54의 도함수이므로 u치환을 적용할 수 있음을 알 수 있습니다. start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54이라고 하면 start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab입니다. 이제 치환합니다:
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
잠깐! 적분의 한계는 u가 아니라 x에 맞춰져 있습니다. 그래프를 가지고 생각해 보세요. 곡선 start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd 아래의 넓이를 x, equals, 1부터 x, equals, 2까지 구해야 합니다.
함수 y = 2x(x^2 + 1)^3의 그래프가 있습니다. x축은 0에서 3까지입니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제2사분면에서 시작해 x축에서 멀어지며 위로 올라가 (2, 500)까지 갑니다. 곡선과 x축 사이의 영역이 x = 1부터 x = 2까지 색칠되어 있습니다.
곡선을 start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff으로 바꾸었는데, 왜 극한이 같아야 할까요?
함수 y = 2x(x^2 + 1)^3과 y = u^3이 같이 그려져 있습니다. y = u^3의 그래프는 제2사분면에서 시작해 x축에서 멀어지며 위로 올라가다 (3, 27)정도에서 끝납니다.
start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accdstart color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff의 그래프가 있습니다. x, equals, 1부터 x, equals, 2까지(혹은 u, equals, 1에서 u, equals, 2까지) 곡선 아래의 넓이가 서로 아주 다르다는 것을 볼 수 있습니다.
역시 극한은 같지 않아야 합니다. 새 극한을 찾으려면 어떤 start color #1fab54, u, end color #1fab54의 값이 x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c에서 x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c까지 start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54에 해당하는지 찾아야 합니다:
  • 하한: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
  • 상한: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
이제 u치환을 정확히 할 수 있습니다:
integral, start subscript, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end superscript, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, end superscript, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
함수 y = 2x(x^2 + 1)^3과 y = u^3의 그래프가 함께 있습니다. x축이 -1에서 6까지 있습니다. 각 그래프는 x축에서 멀어지며 위로 올라갑니다. 첫 번째 함수는 (2, 500)에서 끝납니다. 곡선과 x축 사이 x = 1부터 x = 2까지 색칠되어 있습니다. 두 번째 함수는 (6, 210)에서 끝납니다. 곡선과 x축 사이가 x = 1부터 x = 5까지 색칠되어 있습니다. 두 개의 색칠된 영역은 같은 크기처럼 보입니다.
start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ffu, equals, 2에서 u, equals, 5까지의 넓이와 함께 그려져 있습니다. 이제 색칠된 영역이 거의 같은 크기라는 것을 볼 수 있습니다(눈으로 보면 모를 수 있지만 사실 둘은 같은 크기입니다).
여기서부터는 모두 u에 대해서 풀 수 있습니다:
25u3du=[u44]25=544244=152.25\begin{aligned} \displaystyle\int_{2}^5 u^3\,du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_{2}^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{2^4}{4} \\\\ &=152.25 \end{aligned}
기억하세요: u치환을 정적분에 사용하면 항상 적분의 극한을 생각해야 합니다.
연습문제 1
엘라는 integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x를 풀었습니다. 아래는 그 과정입니다:
1단계: u, equals, x, squared, plus, x로 둡니다
2단계: d, u, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, d, x라고 둡니다
3단계:
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, u, cubed, d, u
4단계:
15u3du=[u44]15=544144=156\begin{aligned} \displaystyle\int_1^5 u^3du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{1^4}{4} \\\\ &=156 \end{aligned}
엘라의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, 15, x, squared, left parenthesis, x, cubed, minus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, d, x, equals, question mark
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

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