주요 내용

치환

치환 적분은 도함수의 함성함수의 역입니다. 즉, 합성합수의 적분을 하는데 도움을 줍니다.

부정적분을 찾는 것은 결국 "역으로 미분"을 하는 것과 같습니다. 꽤 간단한 경우들도 있습니다. 예를 들어

x^{2}

의 도함수는

2 x

이고, 따라서

\int 2 x d x = x^{2} + C

입니다. 이렇게 간단한 논리를

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

같은 다른 함수에도 사용할 수 있습니다.

그렇게 간단하지 않은 경우도 있습니다. 예를 들어

\int \cos (3 x + 5) d x

는 무엇일까요? 힌트:

\sin (3 x + 5) + C

가 아닙니다. 이걸 미분해 보면 왜 그런지 알 수 있습니다.

$u$ ‍치환이 아주 유용할 수 있는데, 이는 합성 함수의 미분법을 역으로 하는 것과 같습니다.

부정적분에 $u$ ‍치환 사용하기

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

를 구한다고 해 봅시다.

2 x

는

x^{2}

의 도함수이며, 합성함수

\cos (x^{2})

의 내부 함수입니다. 다르게 말하면

u (x) = x^{2}

w (x) = \cos (x)

로 놓았을 때 아래와 같습니다:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

이로서

u

치환이 필요함을 알 수 있습니다. 어떻게 하는지 봅시다.

먼저 방정식

u = x^{2}

을

x

에 대한 식으로 바꾸되,

u

를

x

의 음함수라고 생각합니다.

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

마지막 행에선 방정식을

d x

로 곱해

d u

를 분리했습니다. 약간 특이하긴 하지만 다음 단계에서 유용합니다. 이제

u = x^{2}

과

d u = 2 x d x

가 있습니다. 이제 적분에 치환할 수 있습니다.

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & 재배열합니다. \\ = \int \cos (u) d u & 치환합니다. \end{aligned}

치환을 하고 나면

\cos (u)

의 부정적분의 방정식이

u

에 대한 식으로 남습니다. 아주 편리하네요!

\cos (u)

는 기본 함수이므로 간단히 부정적분을 구할 수 있습니다. 남은 것은 함수를

x

에 대한 식으로 바꾸는 것 뿐입니다:

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

결론지으면,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

는

\sin (x^{2}) + C

입니다.

\sin (x^{2}) + C

를 미분해서 검산할 수 있습니다.

주요 개념 #1:

u

치환은 역의 합성 함수의 미분법이라 할 수 있습니다:

합성 함수의 미분법에 따르면 $w (u (x))$ ‍의 도함수는 $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍입니다.
$u$ ‍치환에서 $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍의 꼴의 방정식을 가지고 부정적분인 $w (u (x))$ ‍를 찾습니다.

주요 개념 #2:

u

치환은 내부 함수를 변수로 만들어 복잡한 방정식을 간단히 하게 해 줍니다.

문제 1.A

연습 문제 1에서는

u

치환을 사용한 적분 계산의 모든 과정을 살펴봅니다.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

$u$ ‍를 무엇이라고 정의해야 할까요?

흔한 실수: $u$ ‍나 $d u$ ‍에 틀린 방정식을 얻는 것

u

로 틀린 방정식을 고르면 틀린 답이 나옵니다. 예를 들어 연습문제 1에서

u

는

2 x^{3} + 5

로 정의해야 합니다.

u

를

6 x^{2}

이나

(2 x^{3} + 5)^{6}

으로 두면 안됩니다.

기억하세요:

u

치환을 적용할 땐 피적분함수를

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

의 꼴로 쓸 수 있어야 합니다. 그러면,

u

는 합성 함수의 내부 함수로 정의가 되어야 합니다.

이 과정에서 중요한 과정 중 하나는

d u

를 찾는 것입니다. 잘못된

d u

방정식도 틀린 답을 초래하니

u

를 정확히 미분해야 합니다.

연습문제 2

팀은

\int \cos (5 x - 7) d x

를 풀었습니다. 아래는 그 과정입니다:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

팀의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
실수하지 않았습니다.
(B 선택)
팀의 과정은 틀렸습니다. $\cos (x)$ ‍의 부정적분은 $\sin (x)$ ‍가 아닙니다.
(C 선택)
팀의 과정은 틀렸습니다. 팀은 $\cos (5 x - 7)$ ‍이 합성함수라는 사실을 몰랐습니다.
(D 선택)
팀의 과정은 틀렸습니다. 부정적분을 구할 때 상수 $C$ ‍를 더하면 안됩니다.

흔한 실수: $u$ ‍치환이 필요한지 알지 못하는 경우

기억하세요: 합성함수를 적분할 때 간편히 바깥 함수의 부정적분만 구할 순 없습니다.

u

치환을 사용해야 합니다.

W

를

w

의 부정적분이라 하면, 이는 수학적으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

다른 흔한 실수: 내부 함수와 그 도함수 혼용

\int x^{2} \cos (2 x) d x

를 찾고 있다고 가정해 봅시다. "

2 x

가

x^{2}

의 도함수이므로

u

치환을 사용할 수 있다"고 말할 수도 있습니다. 하지만

u

치환은 내부 함수의 도함수를 구해야 하고,

u

치환이 되려면

x^{2}

의 도함수가

2 x

여야 합니다. 그렇지 않으므로 여기에선

u

치환을 적용할 수 없습니다.

가끔은 적분을 상수로 곱하거나 나누어야 합니다.

\int \sin (3 x + 5) d x

를 구하고 있다고 해 봅시다. 합성함수

\sin (3 x + 5)

가 있지만, 여기에 무엇이 곱해져 있지 않습니다. 이것이 처음에는 이상하게 보일 수 있는데, 계속하며 어떻게 되는지 봅시다.

u = 3 x + 5

라고 하고

d u = 3 d x

라고 합니다. 이제 적분에

u

를 치환하는데, 다음의 기발한 조작을 먼저 합니다.

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

어떻게 한 것인지 보셨나요? 피적분함수에

3 d x

를 있게 하기 위해 전체 적분을

\frac{1}{3}

로 곱했습니다. 이로써 적분의 값은 같게 하면서

u

치환을 사용할 수 있습니다.

치환을 계속해 봅시다:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

주요 개념: 가끔 적분 전체를 상수로 곱하거나 나누어야 할 경우가 있고, 그러면 적분의 값을 바꾸지 않고도

u

치환을 사용할 수 있는 꼴로 만들 수 있습니다.

연습문제 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

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적분학

코스: 적분학 > 단원 1

부정적분에 u‍ 치환 사용하기