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적분학

코스: 적분학 > 단원 1

단원 13: 치환적분
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치환

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치환 적분은 도함수의 함성함수의 역입니다. 즉, 합성합수의 적분을 하는데 도움을 줍니다.
부정적분을 찾는 것은 결국 "역으로 미분"을 하는 것과 같습니다. 꽤 간단한 경우들도 있습니다. 예를 들어 start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54의 도함수는 start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab이고, 따라서 integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C입니다. 이렇게 간단한 논리를 sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction 같은 다른 함수에도 사용할 수 있습니다.
그렇게 간단하지 않은 경우도 있습니다. 예를 들어integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x는 무엇일까요? 힌트: sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C가 아닙니다. 이걸 미분해 보면 왜 그런지 알 수 있습니다.
u치환이 아주 유용할 수 있는데, 이는 합성 함수의 미분법을 역으로 하는 것과 같습니다.

부정적분에 u치환 사용하기

integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab를 구한다고 해 봅시다. start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab는 start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54의 도함수이며, 합성함수 start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10의 내부 함수입니다. 다르게 말하면 start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10로 놓았을 때 아래와 같습니다:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
이로서 u치환이 필요함을 알 수 있습니다. 어떻게 하는지 봅시다.
먼저 방정식 start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54을 x에 대한 식으로 바꾸되, u를 x의 음함수라고 생각합니다.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2x dx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
마지막 행에선 방정식을 d, x로 곱해 d, u를 분리했습니다. 약간 특이하긴 하지만 다음 단계에서 유용합니다. 이제 start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54과 start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab가 있습니다. 이제 적분에 치환할 수 있습니다.
=∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡(x2⏟u)2x dx⏟du재배열합니다.=∫cos⁡(u) du치환합니다.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{재배열합니다.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{치환합니다.}} \end{aligned}
치환을 하고 나면 start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10의 부정적분의 방정식이 u에 대한 식으로 남습니다. 아주 편리하네요! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis는 기본 함수이므로 간단히 부정적분을 구할 수 있습니다. 남은 것은 함수를 x에 대한 식으로 바꾸는 것 뿐입니다:
=∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
결론지으면, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x는 sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C입니다. sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C를 미분해서 검산할 수 있습니다.
주요 개념 #1: u치환은 역의 합성 함수의 미분법이라 할 수 있습니다:
  • 합성 함수의 미분법에 따르면 start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10의 도함수는 start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab입니다.
  • u치환에서 start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab의 꼴의 방정식을 가지고 부정적분인 start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10를 찾습니다.
주요 개념 #2: u치환은 내부 함수를 변수로 만들어 복잡한 방정식을 간단히 하게 해 줍니다.
문제 1.A
  • 최근
연습 문제 1에서는 u치환을 사용한 적분 계산의 모든 과정을 살펴봅니다.
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
u를 무엇이라고 정의해야 할까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: u나 d, u에 틀린 방정식을 얻는 것

u로 틀린 방정식을 고르면 틀린 답이 나옵니다. 예를 들어 연습문제 1에서 u는 2, x, cubed, plus, 5로 정의해야 합니다. u를 6, x, squared이나 left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript으로 두면 안됩니다.
기억하세요: u치환을 적용할 땐 피적분함수를 start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab의 꼴로 쓸 수 있어야 합니다. 그러면, u는 합성 함수의 내부 함수로 정의가 되어야 합니다.
이 과정에서 중요한 과정 중 하나는 d, u를 찾는 것입니다. 잘못된 d, u 방정식도 틀린 답을 초래하니 u를 정확히 미분해야 합니다.
연습문제 2
팀은 integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x를 풀었습니다. 아래는 그 과정입니다:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
팀의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: u치환이 필요한지 알지 못하는 경우

기억하세요: 합성함수를 적분할 때 간편히 바깥 함수의 부정적분만 구할 순 없습니다. u치환을 사용해야 합니다.
W를 w의 부정적분이라 하면, 이는 수학적으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

다른 흔한 실수: 내부 함수와 그 도함수 혼용

integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x를 찾고 있다고 가정해 봅시다. "2, x가 x, squared의 도함수이므로 u치환을 사용할 수 있다"고 말할 수도 있습니다. 하지만 u치환은 내부 함수의 도함수를 구해야 하고, u치환이 되려면 x, squared의 도함수가 2, x여야 합니다. 그렇지 않으므로 여기에선 u치환을 적용할 수 없습니다.

가끔은 적분을 상수로 곱하거나 나누어야 합니다.

integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab를 구하고 있다고 해 봅시다. 합성함수 start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10가 있지만, 여기에 무엇이 곱해져 있지 않습니다. 이것이 처음에는 이상하게 보일 수 있는데, 계속하며 어떻게 되는지 봅시다.
start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54라고 하고 start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab라고 합니다. 이제 적분에 u를 치환하는데, 다음의 기발한 조작을 먼저 합니다.
integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
어떻게 한 것인지 보셨나요? 피적분함수에 start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab를 있게 하기 위해 전체 적분을 start fraction, 1, divided by, 3, end fraction로 곱했습니다. 이로써 적분의 값은 같게 하면서 u치환을 사용할 수 있습니다.
치환을 계속해 봅시다:
=13∫sin⁡(3x+5⏟u)3 dx⏟du=13∫sin⁡(u) du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
주요 개념: 가끔 적분 전체를 상수로 곱하거나 나누어야 할 경우가 있고, 그러면 적분의 값을 바꾸지 않고도 u치환을 사용할 수 있는 꼴로 만들 수 있습니다.
연습문제 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 해보고 싶나요? 다음 연습 문제를 풀어보세요.