삼각 그리고 u 치환 (파트 1)

역도함수를 한번 구해볼까요 역도함수를 한번 구해볼까요 부정적분을 구한다고도 할 수 있습니다 ∫x³√(9-x)dx 문제를 풀기위해 무언가 시도하시겠죠 치환하는 것처럼요 하지만 잘 풀리지 않는다는 걸 금방 깨닫게 될겁니다 여기에 큰 실마리가 있는데요 이 형태에서 무언가 발견할 수 있어요 9-x²를 다르게 표현하면 3²-x²로도 나타낼 수 있습니다 그리고 항상 a²-x²꼴은 치환하기에 유용한 형태이죠 x를 asinθ로 치환해볼게요 자, 왜 이렇게 치환할까요 이제 a²-x²가 a²-a²sin²θ로 변할겁니다 a²(1-sin²θ)와 똑같은 것이죠 a²(1-sin²θ)와 똑같은 것이죠 어떻게 될지 눈에 보일거라고 생각해요 이건 a²cos²θ와 같으니 간단하게 만드는 데 꽤나 유용한 방법이죠 같은 방법으로 적용시켜 볼게요 여기서 a는 3이겠죠 이제 x를 다시 치환해 볼게요 x를 3sinθ로 치환합시다 x를 3sinθ로 치환합시다 그리고 dx가 어떻게 바뀌는 지도 알아야해요 그리고 dx가 어떻게 바뀌는 지도 알아야해요 미분을 하면, dx를 얻게 되겠죠 dx/dθ=3cosθ 라는 것을 구했어요 혹은 다른 형태로 나타내 보면 dx=3cosθdθ로도 쓸 수 있답니다 dx=3cosθdθ로도 쓸 수 있답니다 이건 그저 3sinθ를 θ에 대해 미분한 거예요 이제 치환하러 갈 준비가 다 됐어요 원래 식이 이제 바뀌게되는 데 초록색으로 적어볼게요 (3sinθ)³ (3sinθ)³가 27sin 잠시 색깔 좀 바꿀게요 어떤 부분을 말하는 지 더 잘 보일거에요 그러니까 x³ 부분이 이제 27sin³θ이 되겠죠 혹은 (sinθ)³이라고 씁니다 그리고 이 부분은 √(9-x²) 이니까 √(9-9sin²θ)가 되겠죠 그리고 dx는 여기에 있는 dx는 -- dx는 이 항 전체와 같습니다 따라서 3cosθdx를 곱해주세요 이제 우리가 이 식을 간소화 시킬 수 있는 지 볼까요 이제 우리가 이 식을 간소화 시킬 수 있는 지 볼까요 옆 쪽에 다시 적어 보면 이 항은 √9((1-sin²θ)라고 쓸 수 있으니 이 항은 √9((1-sin²θ)라고 쓸 수 있으니 √(9cos²θ)와 같아요 그리고 cosθ가 양수라고 추측할 수 있습니다 저번 동영상에서 본 것처럼요 이것이 3cosθ와 같아지니까 이 부분은 3cosθ가 됩니다 그래서 어떻게 간소화 될까요 27*3은 81이고 여기에 3을 곱해주면 243이 됩니다 그래서 이 식은 243 곱하기 적분식이니 sin³θ랑 sin³θ랑 cosθ*cosθ이니 cos²θ라 할 수 있겠죠 cos²θ라 할 수 있겠죠 이 항들에서 온 거에요 당연히 dθ도 적어주세요 모든 항을 옮긴 것 같네요 아마 간소화시키지 않은 것처럼 보일 수도 있어요 왜냐하면 아직 간단히 풀릴 것처럼 보이지 않기 때문입니다 하지만 거의 다 왔어요 이제 아주 기본적인 치환 적분 문제로 바뀌었어요 지금 당장 눈에 보이지는 않지만 첫 단계에서 테크닉을 조금 써야해요 첫 단계에서 테크닉을 조금 써야해요 여기서 어떻게 치환적분을 하실건가요 삼각함수의 거듭제곱이 있을 때는 특히 그 중 하나라도 홀수 제곱이 되어있을 때, 해야하는 건 홀수 제곱 중 하나를 떼어내는 것입니다 그러면 치환 적분 문제로 만들 수 있죠 한번 해볼까요 이건 243곱하기 ∫sin³θ 그냥 sinθ 항을 다시 적어보면 이렇게 한 번 써볼게요 sin²θcos²θ sin²θcos²θ 그리고 하나 남은 sinθ랑 dθ 이제 저는 이 식을 치환 적분꼴로 바꿀거에요 여러분이 상상하시는 것처럼 du를 sinθdθ와 짝지어야해요 u가 cosθ와 같을 때 du를 -sinθdθ라고 할 수 있어요 가능한지 확인해볼까요 sin²θ가 1-cos²θ와 같으니 전체 식은 243∫(1-cos²θ)cos²θ*sinθdθ가 됩니다 전체 식은 243∫(1-cos²θ)cos²θ*sinθdθ가 됩니다 전체 식은 243∫(1-cos²θ)cos²θ*sinθdθ가 됩니다 전체 식은 243∫(1-cos²θ)cos²θ*sinθdθ가 됩니다 지금까지 어떻게 풀었는 지 다시 한번 살펴보면 이런 식으로 만들기위해 삼각치환을 사용했어요 여기서는 sinθ를 하나 떼어내서 여기에 따로 붙여주고 이 식을 cosθ에 대한 식으로 나타냈습니다 이 식을 cosθ에 대한 식으로 나타냈습니다 이렇게 cosθ에 대한 식으로 다르게 나타낸 이유는 cosθ에 대한 함수가 있고 cosθ의 도함수 꼴이 바로 여기 있기 때문이죠 이제 치환적분을 위한 준비가 다 되었어요 치환적분을 해봅시다 어떤 미지수에 대한 함수가 있고 그 도함수가 있다면 u에 대해 같은 식을 나타낼 수 있겠죠 cosθ를 u로 치환합니다 그러면 du는 -sinθdθ와 같아지죠 여기에는 sinθ가 있으니 -를 곱해주고 이 식 앞에도 -를 곱해줄게요 결국 -를 두번 곱한 것이니 식은 변하지 않아요 이 부분은 이제 du가 되고 이 부분은 u에 대한 함수가 됩니다 u에 대한 식으로 모두 바꿔줄게요 이 식은 -243∫(1-u²)u² 이 식은 -243∫(1-u²)u² 이 식은 -243∫(1-u²)u² 그리고 이 부분이 du이니 바로 du라고 적어주면 됩니다 이제 꽤나 직관적이네요 u²을 바로 곱해주면 -243 -243 -243∫(u²-u⁴) -243∫(u²-u⁴) (그냥 분배해준거에요) -243∫(u²-u⁴)du와 같아집니다 -243∫(u²-u⁴)du와 같아집니다 역도함수를 찾기에 아주 쉬운 형태가 되었어요 -243(u³/3-u^(5)/5) -243(u³/3-u^(5)/5) -243(u³/3-u^(5)/5) -243(u³/3-u^(5)/5) 당연히 상수 C도 있어야겠죠 마이너스 부호를 없애주려면 순서를 바꾸고 마이너스 부호를 분배해주면 됩니다 이것은 음의 부호를 가지게 될 거고 이것은 양의 부호를 가지게 됩니다 결국 이 식은 243(u^(5)/5-u³/3)+C가 됩니다 이제 끝났다고 생각하겠지만 그렇지 않아요 원래 식이 x로 표현된 반면에 결과가 모두 u로 표현되어있기 때문이죠 다음 영상에서는 치환된 식을 되돌리겠습니다 여기 있는 이 식을 x에 대한 식으로 나타낸다는 말이죠 우리가 두 번 치환한 과정을 거슬러 u를 θ로 그리고 다시 x로 치환하겠습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박규란