삼각치환이란?

우리가 여기 이 유한한 적분의 수치를 구한다고 해봅시다 그렇다면 여러분은 즉시 분모의 루트 4-x 의 제곱을 구했다고 하실 것입니다 대입법을 써볼 수도 있겠습니다 하지만 사실 딱히 논리적인 수치로 맞아떨어지지 않습니다 어떻게 풀까요? 해결방법이라고 생각할 수 있는 또 하나는 이 루트(4-x)의 제곱이 이것이 제가 피타고라스의 정리로 구할 수 있는 것으로 보입니다 만약에 제가 피타고라스 정리의 빗변이 아닌 변을 구하고 있다면 그리고 또 빗변의 길이가 2라면, 이것은 2의 제곱일 것이고 다른 변은 X, (2-x)의 제곱이 결국은 다른변의 길이일 것입니다 그런 식으로 풀어보죠 그래서, 만약 우리가 a가 있다면, 아 그리고 혹시나 여러분이 이것을 보자마자 필이 안와도 괜찮습니다 왜냐하면 솔직히 말하자면 제가 이런 문제를 처음 봤을때 해결방법이 보이지는 않았거든요 그래서 여러분이 직각삼각형이 있다고 해봅시다 이제 여러분이 생각했던 해결방법을 써봅시다 그래서 직각삼각형의 빗변은 길이가 2라고 한다면, 길이가 2라면 길이가 2라면 그렇다면 여기있는 이 변에 대해서 해봅시다 이변을, 이 변을 이 변에 대해서 이야기 해봅시다 이 변의 길이는 X 입니다 이 변의 길이는 X 입니다 약간의 직관입니다 왜냐하면 일반적으로는 이 변을 Y와 묶기 때문이죠 하지만 계속 해보도록 합시다 이 변은 길이가 X 입니다 그렇다면 여기 이 변은 길이가 몇일 것 같나요? 빗변이 아닌 다른 변의 길이는 무엇일까요? 피타고라스 정리를 사용해서 푼다면 루트(빗변의 길이)제곱이라는 것을 알 수 있습니다 2의 제곱, 그냥 4이죠 - 다른 변의 제곱입니다 그래서 -X 의 제곱 -참 흥미로운 현상이군요, 우리가 직감적으로 알 수도 있었던 사실인데 말입니다 계속해봅시다 어떻게 이 사실이 저희를 도와주죠? 여기가 삼각함수가 들어오는 부분입니다 잠깐 정의를 해보자면, 여기 있는 이 각을 세타라고 부릅니다 그러면 이 변들을 기준으로 할때 어떤 것이 사인이고 코사인 세타일까요? 한번 봅시다 사인 세타는 사인 세타는 빗변의 위의 반대와 같죠 그래서 x/2 입니다 x 에 대해 정의하고 싶다면, x= 2사인 세타가 나오게 됩니다 흥미롭네요 코사인 세타는 어떻습니까? 코사인 세타는 이웃변과 일치합니다 루트(4-X)제곱이 분자, 그러니까 빗변 위에 오고, 아니면 이 변에 대해서 풀고 싶다면 이것은 루트 (4-x)제곱이 빗변 곱하기 코사인 세타와 같을 것이라고도 할 수 있겠습니다 흥미롭군요 x가 2 사인 세타와 같다면 이 다른 변, 이 식이 통째로 2 코사인 세타로 간단하게 정리됩니다 상당히 흥미롭습니다 대입해봅시다 X가 2사인 세타와 같다고 해봅시다 그리고 만약 X가 2 사인 세타와 같다면, DX는 2 코사인세타*D세타와 같을 것입니다 그러면 이제 X가 2 사인 세타와 같다고 둔다면 이것은 무엇이 될까요? 우리가 알게모르게 찾아냈습니다 이것은 2 코사인 세타입니다 이것은 2와 똑같습니다 -오렌지 색으로 쓰죠- 2 코사인 세타 2 코사인 세타 이제 우리는 이것을 풀 수 있게 되었습니다 이 직각삼각형을 그리고 삼각법의 사인, 코사인, 탄젠트의 정의 등을 사용해서 말이에요 삼각형의 원도 쓸 수 있습니다 그것은 이 모든 것의 심화내용입니다 하지만 만약에 여러분이 "있지, 이것이 2 사인 세타인것을 안다면 피타고라스의 정리도 쓸 수 있어" 라고 하고선 삼각함수를 적절하게 사용한다면 이 모든 식을 통째로 2 코사인 세타 로 간단하게 정리할 수 있습니다 이제는 더 나가봐서 대입법을 이용해서 풀 수 있나 봅시다 그래서 이것이 제한된 적분입니다 그래서 DX, 이것이 DX는 2코사인세타 D 세타 라고 할 수 있습니다 써봅시다 이것은 2코사인 세타 D, D 세타는 바깥에 쓰겠습니다 그럼 이제 분모는 뭐가 될까요? 루트(4-x)의 제곱? 또 다시 2 코사인 세타가 됩니다 그래서 2 코사인 세타가 됩니다 2 코사인 세타가 됩니다 꽤 괜찮게 풀리는데요 만약에 2코사인 세타/ 2 코사인 세타를 한다면 통분되어 1이 되죠 이렇게 심플화됩니다 이렇게 심플화됩니다 D 세타는 결국 세타 +C 와 같아집니다 세타 +C 와 같아집니다 어떻게 보면 괜찮지만 아직 끝난건 아닙니다 우리는 유한한 적분을 원하죠 X에 대해 정의해서 말입니다 그렇다면 이제 X에 대해서 정의합시다 X가 2사인 세타라면 X가 2사인 세타라면, X가 2사인 세타라면, X가 2사인 세타이고, 그럼 이제 양변을 2로 나누어 봅시다 X/2는 사인 세타와 같습니다 세타에 대해서 풀어보고 싶다면, 세타는 만약에 여러분이 사인을 다른 쪽으로 이항했을 때 나옵니다 X/2가 있을 것이고, 그렇게 된다면 세타는 사인의 역함수와 같을 것입니다 이것의 사인 역함수, X/2말입니다 이렇게 써도 되지만, 세타가 아크사인과 같다고 써도 될것입니다 X/2의 아크사인 X/2의 아크사인 이 됩니다 그래서 이것은 X/2의 아크사인이 됩니다 계속 해보죠 X/2의 아크사인 +C 그리고는 거의 끝났습니다 방금 그 유한한 적분을 구했습니다 이제 여러분중 몇명은 눈치챘을거에요 제가 여러분에게 큰 그림을 보여주기 위해 조금 빨리 지나간 감이 있지만, 조금 빨리 지나간 감이 있지만, 좀 더 세부적으로 말하자면 -그리고 저는 좀 더 깊게 파고들어갈- 가치가 충분하다고 봅니다 그래서 첫번째로는, 여러분은 이 X에 쳐 있는 규제가 보이실 겁니다 아니면 여기 있는 이 식이 제한되어 있죠 그 점 알아두도록 합시다 우리가 대입법을 활용할 떄 실수 하지 않도록 말입니다 그래서 여기 있는 이 영역, X는 -2보다는 커야하고 2보다는 작아야합니다 X의 절대값이 2와 같다면, 분모에는 0만이 남게 됩니다 X의 절대값이 2보다 크다면, 여러분은 분모에 음수를 가지게 될 것입니다 불능이죠 그래서 여기까지가 일단 영역입니다 우리의 대입법이 잘못되지 않도록 정확히 합시다 그래서 X가 -2 에서 2 사이여야 합다면, 그리고 X가 2 사인 세타라면- 그말인 즉슨 2 사인 세타가 -2 에서 2 사이여야 한다는 말입니다 그래서 -2는 2 사인 세타보다 작아야 합니다 2 사인 세타보다 작아야 합니다 그것또한 2보단 작아야 하고요 우리는 이것의 다른 부분들을 다 나누어서 부등식을 통째로 2로 나눌수 있습니다 그러면 여러분은 -1<사인 세타를 가지게 됩니다 그러면 여러분은 -1<사인 세타를 가지게 됩니다 그것 또한 1보다 작고 말입니다 우리가 그것을 풀 수 있는 방법은 세타가 파이/2 보다 클 때 입니다 파이/2 일때, 사인세타는 1일 것입니다 그리고 세타가 -파이/2 보다 크겠죠 그래서 이 방식으로 풀어본다면, 우리가 세타는 여기 이 범위 내라고 한다면 말이에요 그렇다면 우리가 규율하는 범위는 논리적이게 됩니다 이것이 잘 풀리는 이유는 일반적인 아크사인 함수의 범위이기 때문이죠 그래서 그것에 대해서는 좋다고 느끼셔도 됩니다 여러분이 궁금해 할 또 한가지는, 볼 수 있듯이 여기서는 코사인 세타로 나누어 주었는데, 그것은 코사인 세타가 0이 아닌 이상 괜찮습니다 분모에 0이 있으면 불능이 되버리니까요 그리고 세타의 범위를 정하면 좋은 점들 중 하나는 세타가 -파이/2 보다 크고 파이/2 보다 작은 이상, 코사인 세타는 0이 되지는 않을 것입니다 양수가 될것입니다 -파이/2 이나 파이/2 가 허락된다면, 여기에 0가 들어올 것이고 우리는 또 다시 범위를 정할 또 다른 방법에 대해서 생각해 봐야 할 것입니다 하지만 지금은 매우 괜찮아 보입니다 조금 더 깊이 파고 들어갔어요 아까 말했듯이, 범위에는 아무 이상하거나 증명되지 않은 방법을 사용하지는 않았어요 그래서 이제 우리는 문제를 푼 것에 대해 기분 좋아해도 됩니다