삼각치환 문제

여기에 √(6x-x^2-5) 의 부정적분이 있습니다 보다시피 쉬운 적분은 아닙니다 근호 안의 식을 미분한 꼴이 보이지 않기 때문에 단순한 치환적분은 불가능해 보입니다 그래서 동영상의 제목으로 유추해 보면 조금 더 멋있는 방법을 사용한다는 것을 알게 될 겁니다 그리고 그 방법은 아마도 삼각치환과 관련된 것일 겁니다 그러나 주어진 식에 바로 삼각치환을 적용하는 게 가능해보이지는 않습니다 저는 근호 안에 1-x^2 이 있거나 x^2-1 이나 x^2+1 이 근호 안에 있을 때 삼각치환을 시도해 봅니다 이런 꼴이 보일때 저는 삼각치환은 생각해 봅니다 그러나 주어진 식이 아직은 이러한 경우로 보이지는 않습니다 여기 근호가 있고 x^2가 있지만, 위 경우 중 하나로 보이지는 않습니다 그래서 이 식을 이 경우들로 만들어 봅시다 잠시 이 식들을 지우겠습니다 우선 완전제곱식의 꼴을 만들어 봅시다 식을 보시면 우선 적분기호가 있습니다 만약 완전제곱식의 꼴으로 식을 변형하는 것이 익숙하지 않다면 저의 다른 영상을 참고하시면 됩니다 식을 다시 써보면 근호 안에 -5-x^2 이 있습니다 식에 +6x 가 있고 괄호 밖에 -가 있으니 -6x 입니다 -(-6x) 는 6x와 같습니다 괄호 안에 완전제곱식을 만들려고 합니다 그러면 무슨 수를 두 번 더해야 -6이 될까요? -3 입니다 x 의 계수의 절반은 -3 이고 이것의 제곱은 9 이기 때문에 뒤에 9를 추가하면 됩니다 여기서 저는 9를 그냥 더할 수는 없습니다 엄밀히 말해서 9를 더한 것도 아닙니다 그럼 제가 뭘 했나요? 9를 뺐습니다 여기 9를 추가했지만 괄호 전체에 -부호가 있으니 사실은 -9가 됩니다 전체 식에 변화가 없게 하기 위해 방금 -9를 넣었으니 다시 9를 더해야 합니다 식에 9를 더해보면 이렇게 적을 수 있습니다 뒤에 dx까지 마저 적겠습니다 식이 이해가 되지 않는다면 괄호를 풀어서 확인하면 됩니다 여기 두 항은 -x^2+6x 가 되고 9 와 -9 는 만나서 0이 되고, 식은 정확히 처음과 같아지게 됩니다 여기서 식이 바뀌지 않은 것을 알아주셨으면 좋겠습니다 여기 -9가 있기 때문에 9를 더한 것이고, 결과적으로 0을 더한 것입니다 이렇게 식을 변형함으로서 삼각치환을 적용하기 쉬운 꼴이 되었습니다 -5+9 는 4가 되고 괄호 내의 식은 (x-3)^2 이 됩니다 (x-3)^2 이 됩니다 잠시 식을 정리해 보면 이 정적분 문제는 √(4-(x-3)^2) 의 부정적분과 같아지게 됩니다 이제 삼각치환을 적용하기 쉬운 꼴이 되는 것 같지만 근호 내의 상수가 1이 되면 좋겠습니다 그러니 4를 괄호 밖으로 내보내면 이 식은 √(4(1-((x-3)^2)/4) 의 부정적분과 같아집니다 단지 괄호 밖으로 4를 내보낸 것입니다 다시 4를 괄호 안에 곱하면 원래 식과 같아집니다 뒤에 마저 dx 를 적겠습니다 이제 정말로 삼각치환을 하기 편한 꼴로 바뀌었지만 좀 더 식을 정리해보면 근호 밖으로 4를 내보내면 2√(1-((x-3)/2)^2) 2√(1-((x-3)/2)^2) 의 부정적분과 같아집니다 이 2는 왜 생긴 걸까요? ((x-3)/2)^2 를 계산해 보면 (x-3)^2 / 2^2 가 되고 이것은 왼쪽의 ((x-3)^2)/4 와 같습니다 지금까지 한 번도 미적분을 사용하지 않았습니다 그냥 단순히 대수적으로 처음의 식을 이렇게 다시 적은 것뿐입니다 이 두 식은 같습니다 그러나 갑자기 어느 순간부터 익숙한 꼴의 식이 보이기 시작했습니다 지난 영상에서 cos^2(𝜽) 는 1-sin^2(𝜽) 와 같다는 것을 설명했습니다 마찬가지로 sin^2(𝜽) 와 1-cos^2(𝜽)는 차이가 없습니다 어느 쪽의 식을 사용하더라도 상관 없습니다 cos^2(𝜽) = 1-sin^2(𝜽) 과 정리한 식을 비교해 보면 ((x-3)/2)^2 를 sin(𝜽)^2 로 치환했을 때 동일한 식이 되는 것을 알 수 있습니다 그러니 치환적분을 시도해 보겠습니다 ((x-3)/2)^2 = sin(𝜽)^2 라고 적어 보면 양변에 근호을 적용시켜서 (x-3)/2 = sin(𝜽) 가 됩니다 우리는 이 식을 𝜽에 대해 정리해야 하니 𝜽를 x로 나타내 봅시다 그러기 위해서 양변에 arcsin() 을 적용해 보면 좌변은 그냥 𝜽 가 되고 결과적으로 𝜽 = arcsin((x-3)/2) 이라고 적을수 있습니다 치환적분을 하기 위해선 dx 또한 𝜽 로 나타내야 합니다 그래서 아까 식에서 양변을 두 배로 만들면 x-3 = 2sin(𝜽) 이고 x = 2sin(𝜽) + 3 가 됩니다 양변을 𝜽에 대해 미분을 하면 dx/d𝜽 = 2cos(𝜽) 가 됩니다 상수항은 미분하면 그냥 0 이 됩니다 아니면 식 양변에 d𝜽 를 곱하면 dx = 2cos(𝜽)d𝜽 가 됩니다 이러면 이제 원래 적분식에 치환을 적용시킬 준비가 되었습니다 그러니 원래 식은 근호 안의 식을 1-sin^2(𝜽) 라고 바꿔서 ∫2(1-sin^2(𝜽))^(1/2)dx 라고 적을수 있습니다 그런데 dx 를 아까 𝜽로 나타냈으니 dx = 2cos(𝜽)d𝜽 라고 쓸수 있습니다 이 식을 어떻게 정리할수 있을까요? 근호 내의 식은 cos^2(𝜽) 와 같습니다 그러니 제곱근을 취할 수 있습니다 그래서 근호 전체를 정리하면 cos(𝜽) 라고 적을수 있습니다 전체 식을 정리하면 2cos(𝜽)2cos(𝜽) 가 됩니다 뒤쪽의 2cos(𝜽)는 적분 변수로부터 온 것입니다 그리고 앞쪽의 cos(𝜽)는 전의 근호 전체를 정리한 식입니다 1-sin^2(𝜽) = cos^2(𝜽) 이고 제곱근을 취하면 cos(𝜽) 가 됩니다 그리고 나머지 항을 곱하고 뒤에 d𝜽가 옵니다 이것을 정리하면 ∫4cos^2(𝜽)d𝜽 입니다 이 모습 그대로는 풀기 쉬운 적분이 아닙니다 치환적분은 물론이고 다른 방법도 사용하기 힘들어 보입니다 어떻게 하면 될까요? 전에 배웠던 삼각함수 공식을 기억해 봅시다 이 공식을 아시는지는 모르겠지만 대부분의 미적분학 책이나 삼각함수 책에는 적혀있는 공식입니다 cos^2(𝜽)는 (1+cos(2𝜽))/2 와 같습니다 이 식은 이미 여러 동영상에서 증명했습니다 그래서 이 식을 사용해 봅시다 4cos^2(𝜽)를 4*(1/2)*(1+2cos(2𝜽))d𝜽 4*(1/2)*(1+2cos(2𝜽))d𝜽 라고 나타낼수 있습니다 적분이 좀 더 쉬운 모양으로 바뀌었습니다 정리해 보면 4*(1/2) = 2 이고 괄호를 풀면 ∫(2+2cos(2𝜽))d𝜽 가 됩니다 이 적분은 바로 풀 수 있습니다 여기 이 2cos(2𝜽)는 𝜽에 대해서 sin(2𝜽)를 미분한 것입니다 sin(2𝜽)에서 우선 속미분을 하면 2이고 겉미분은 cos(2𝜽)이니 당연히 sin(2𝜽)를 미분한 것과 같습니다 전체 식의 부정적분은 2를 적분한 2𝜽에 2cos(2𝜽)를 적분한 sin(2𝜽)를 더하고 적분상수 c를 더하면 됩니다 이 식은 원래 x 에 대한 부정적분이니 𝜽에 대한 식으로 끝내면 안되고 다시 x에 대하여 적어야 합니다 𝜽는 원래 arcsin((x-3)/2) 이니 다시 적어 봅시다 이 식을 바로 적용하면 sin(2arcsin((x-3)/2) 더하기 2arcsin((x-3)/2) 가 될 것입니다 이것도 답이지만 만족스럽지 않습니다 더 간단하게 만들어 봅시다 이걸 더 단순하게 하기 위해서는 sin(𝜽) 에 대한 식으로 바꿔야 합니다 그래야지 sin과 arcsin이 만나 (x-3)/2 로 간단하게 바뀔 것입니다 더 자세히 말하면 이 식을 sin(𝜽) 대한 식으로 정리했을때 sin(𝜽) 는 sin(arcsin((x-3)/2)) 이고 이는 (x-3)/2 가 되어 식이 간단해지게 됩니다 그래서 일단 이 식을 sin(𝜽)에 대한 식으로 정리하고 𝜽를 x로 바꾸면 arcsin 이 사라저 간단해지게 될 것입니다 이게 가능한지 직접 해봅시다 이 공식을 아시는지는 잘 모르겠지만 이 공식 또한 전에 증명했었습니다 sin(2𝜽) 는 sin(𝜽+𝜽)이고 sin𝜽cos𝜽+cos𝜽sin𝜽 와 같고 같은 항이 두 개이니 정리하면 2sin𝜽cos𝜽 가 됩니다 어떤 사람들은 이 공식을 외우고 있었을 것입니다 그리고 만약 삼각치환에 대한 시험을 본다면 이 공식을 외우고 있는 것이 좋을 것입니다 이 식을 사용해서 부정적분 2𝜽+2sin(2𝜽)+C 에서 sin(2𝜽)대신 2sin𝜽cos𝜽로 바꾸어 쓸 수 있습니다 우리는 식을 모두 sin𝜽에 대하여 쓰고 싶지만 여기 cos𝜽가 있습니다 어떻게 해야 할까요? 우리는 cos^2(𝜽) 가 1-sin^2(𝜽)인 것을 압니다 당연히 cos𝜽 는 √(1-sin^2(𝜽)) 과 같습니다 식이 복잡해지는 것 같지만 결과적으로 식을 sin𝜽로 정리할 수 있습니다 그러니 이 식을 적용해 봅시다 그러니 이 식을 적용해 봅시다 2𝜽+2sin𝜽cos𝜽+C에서 cos𝜽 는 √(1-sin^2(𝜽)) 로 바꾸어 쓸 수 있습니다 이제 거의 끝이 보입니다 아마도 이 문제는 처음 생각했던 것보다 더 어려울 것입니다 우리는 sin𝜽가 (x-3)/2 와 같은걸 압니다 이제 𝜽를 x로 바꾸어 봅시다 2𝜽 항이 있습니다 여기서 arcsin을 소거할 수 없으니 2𝜽는 그냥 2arcsin((x-3)/2) 라고 적어야 합니다 색을 바꾸어 적겠습니다 이 뒤에 2sin𝜽가 있습니다 이는 2(x-3)/2 이고, 이어서 √(1-sin^2(𝜽)) 이 나오고 근호 안의 식은 1-((x-3)/2)^2 와 같습니다 물론 마지막에 적분상수 C도 있습니다 이제 정말로 끝이 보입니다 조금만 더 간단히 만들어 봅시다 첫 항은 2arcsin((x-3)/2) 이고 두 번째 항의 2 와 분모의 2는 소거되어 x-3만 남고 근호 안의 식은 괄호를 풀어서 1-((x-3)^2)/4 가 됩니다 식을 단순하게 만드는 것이 생각보다 오래 걸립니다 그러나 조금 더 간단하게 만들어 봅시다 이 두 번째 항의 근호 앞의 부분에 집중해 봅시다 2를 곱하고 2를 나눠봅시다 다시 말해 2/2를 곱해 봅시다 왜 이러는 건지 궁금해 하실 수 있지만 식을 다시 적어 보겠습니다 첫 항은 그대로이고 근호 앞은 (x-3)/2 가 되고 여기서 분모의 2는 아까 곱한 2/2의 분모입니다 그리고 분자의 2를 √4로 쓴다면 √4 ×√(1-((x-3)/4)) 와 같습니다 √4 ×√(1-((x-3)/4)) 와 같습니다 √4 ×√(1-((x-3)/4)) 와 같습니다 제가 뭘 하는지 알아보실 것 같습니다 이 풀이의 첫 부분에서 했던 일을 되돌리는 것과 비슷합니다 조금 과할 정도로 이 식을 간단하게 만들려고 하는 것 같지만 거의 완료된 것 같습니다 식을 다시 써보면 첫 항은 변함이 없고 뒤에 (x-3)/2 곱하기 아까 전 근호 내의 식에 4배를 한 것과 같은 √(4-(x-3)^2) 더하기 적분상수 C가 됩니다 거의 끝났습니다 첫 항은 그대로이고 이어서 (x-3)/2 곱하기 √(4-(x^2-6x+9)) 더하기 적분상수 C이고 근호 내의 식을 전개하면 6x-x^2-5 가 됩니다 그리고 이는 처음의 부정적분과 같습니다 마지막으로 식을 적어 본다면 부정적분은 2arcsin((x-3)/2) 더하기 (x-3)/2 곱하기 √(6x-x^2-5) 더하기 적분상수 C가 됩니다 이것은 칠판 제일 윗 부분에 적은 식의 부정적분입니다 구한 식은 √(6x-x^2-5) 의 부정적분입니다 제 손이 아픈 만큼 여러분들도 동영상을 시청하느라 힘드실 것 같습니다 그러나 만족하실 거라고 믿습니다 저는 가끔씩 쉬운 문제만 푼다고 지적을 받습니다 아마도 이 문제는 쉽지 않은 것 같습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박재우