x=sin(theta) 치환

이 부정적분은 값을 구해봅시다 치환 할 만한 단서로 이게 적당한 것 같네요 분모가 루트(근호) 안에 있는 거요 보통 (a의 제곱) - (x의 제곱) 이런 형태를 보면 어떻게 풀지 감이 오지 않나요? 이 문제가 좋은 힌트가 될겁니다 치환하기 위해 x를 a(사인 세타)라고 두고 조금 변형하자면 (a의 제곱) - (a 의 제곱)(싸인 세타) (a 제곱)을 밖으로 빼면 왜 이렇게 했는지 알 수 있습니다 가장 쉬운 삼각법 공식이 됐죠 이건 코사인 제곱 세타니까 식이 간단해졌어요 아마 이런 생각이 들겁니다: 8- 2*(x의 제곱)은 (a 제곱)-(x 제곱)과 또 다른 문제지! 하지만 이것도 단순화하거나 같은 형식으로 바꿔 쓸 수 있어요 다시 적죠, 8 - 2 -- 조금 밑에다 쓸게요 8 - 2(x 제곱)인데 2를 밖으로 빼면 2 곱하기 (4 - (x 제곱))이 되죠 이제 분명한 패턴이 보이네요 (a 제곱) - (x 제곱) 2 곱하기 ((2 제곱) - (x 제곱)) 도 됩니다 이때 a는 2와 같겠죠 치환을 해봅시다 x를 2(사인 세타)로 두면 dx는 2(코사인 세타)(d 세타)가 되겠죠 그럼 이 분모식은 뭐가 돼죠? 우린 아까부터 구하고 있었어요 2 곱하기((2제곱) -(x 제곱))인데 x 는 2(사인 세타)니까 x 제곱은 (2 제곱)(사인 세타 제곱) 이 될거에요 이제 (2제곱)을 밖으로 두면 2 곱하기(2 제곱) 곱하기 1-(사인 제곱 세타) 가 되죠 2 곱하기 (2 제곱)은 8이죠, 여기에 곱하기 (코사인 제곱 세타) 이게 루트 안의 값이에요 해봅시다 다시 써볼까요 그러면 파이를 적분 밖으로 빼죠 파이 곱하기 dx인데 dx는 2(코사인 세타)(d 세타)네요 잘 보이도록 dx는-- 파란색으로 할게요 dx는 2(코사인 세타)(d세타)예요 2(코사인 세타) 를 쓰고 (d 세타)는 여기 두죠 분자에 같이 써도 돼요 그리고 분모의 경우, 이 식에 루트를 씌우면요 8(코사인 제곱 세타)의 제곱근이 돼요 이 식의 제곱근은 일단 2 루트 2 8의 제곱근이 2 루트 2 이거든요 써볼게요 다시 설명할까요 이 분모는 이 식의 제곱근인데 그 값이 2 루트 2예요 8에 루트를 씌운거죠 (코사인 제곱 세타) 의 제곱근은 코사인 세타 가 돼요 이때 여러분이 질문하죠: 제곱의 제곱근을 구하면 코사인 세타의 절댓값이 나오는 거 아닌가요? 저는 절대값을 없애려고 코사인 세타가 양수라고 가정했어요 양수라고 봐도 되는 이유가 있어요 이 식을 세타로 치환합시다 풀기위해 양변을 2로 나눠서 x/2 는 (사인세타) 라는 식을 세우죠 그럼 세타는 arcsin(x/2) 이 됩니다 정의에 따르면 아크사인 함수는 -(파이/2) 와 +(파이/2) 사이의 세타값을 갖고요 그 범위에서 코사인 함수는 항상 양수가 됩니다 따라서 절대값은 필요없어요 코사인 세타가 항상 양수니까요 이제 간단히 해봅시다 코사인 세타끼리 상쇄되고 이 두 2도 지워집니다 루트2는 밖으로 빼고요 이제 남은건 (파이/루트2) 곱하기 적분 (d세타) 예요 이건 (파이/루트2) 곱하기(세타) 더하기 C와 같아요 거의 끝났어요 x에 대한 식으로 바꾸죠 세타가 arcsin(x/2) 라는 걸 아니까 부정적분의 풀이는 (파이/루트2) 곱하기 arcsin(x/2)+C 가 됩니다 끝났어요 2의 제곱근은 분모에 두기도 해요 2의 제곱근 분의 2의 제곱근을 곱하면 제곱근을 없앨 수 있어요 하지만 지금은 그냥 두겠습니다 이게 우리가 구한 정적분이에요