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주요 내용

사다리꼴 합

곡선 아래에 있는 넓이는 대부분 직사각형을 사용하여 넓이를 구합니다. (즉, 왼쪽, 오른쪽, 중점 리만 합) 하지만 사다리꼴을 사용하여 구할 수도 있습니다. 일반적으로 사다리꼴의 합이 직사각형의 합보다 더 정확하기도 합니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

오늘 해 볼 활동은 곡선 y=√(x-1)의 아랫부분 중 직선 x=1과 x=6 사이의 부분의 넓이를 근사해보는 것입니다 그러니까 이 부분의 넓이를 구해보겠다는 것이죠 불가능하다면 최소한 넓이를 어림이라도 해 볼 것입니다 넓이를 구하기 위해서 구하고자 하는 영역을 폭이 같은 다섯 개의 사다리꼴로 나누어 보겠습니다 따라서 이 점은 첫 사다리꼴의 왼쪽 끝이 되겠죠 이 선분은 오른쪽 변이 됩니다 동시에 두 번째 사다리꼴의 왼쪽 변이기도 하고요 이 선분이 두 번째 사다리꼴의 오른쪽 변입니다 세 번째 사다리꼴의 오른쪽 변은 이 선분이고요 네 번째 사다리꼴의 오른쪽 변은 이 선분입니다 마지막으로, 이 선분이 다섯 번째 사다리꼴의 오른쪽 변이 되겠죠 그래프에서 살펴볼 구간은 1부터 6까지입니다 x축을 따라 6-1만큼을 다섯 개의 구간으로 나누었으므로 각각의 사다리꼴의 폭은 1이 됩니다 이 값을 Δx로 쓰겠습니다 그러면 Δx=1이 됩니다 이제 사다리꼴을 그려봅시다 첫 번째 사다리꼴은 이렇게 그려집니다 정확히는, 이 도형은 사다리꼴이 아니라 삼각형이지요 두 번째 사다리꼴은 이런 모양으로 그려집니다 첫 번째 삼각형의 경우 한 변의 길이가 0인 사다리꼴로 간주할 수 있겠죠? 세 번째 사다리꼴은 이렇게 그려지고 네 번째 사다리꼴은 이렇게 그려집니다 마지막 사다리꼴 역시 같은 방법으로 그려집니다 이제 각각의 사다리꼴의 넓이를 계산하여 구하고자 하는 넓이의 근삿값을 구할 수 있습니다 계산을 해 볼까요? 첫 번째 도형의 경우 삼각형이나 사다리꼴 중 무엇으로 불러도 상관없겠습니다 이 도형의 넓이는 얼마일까요? 사다리꼴의 넓이는 이 경우 삼각형의 넓이로 계산할 수도 있겠지만, 넓이는 두 양 끝 변의 길이의 평균값을 구한 후에 더 명확하게 말하자면 두 평행인 변의 길이의 평균값을 구한 후에 이 경우에는 이쪽의 높이인 f(1)에 f(2)를 더해서 2로 나눈 후에 Δx를 곱해주면 됩니다 Δx를 곱해주면 됩니다 똑같이 빨간색으로 쓰겠습니다 그래야 이 전체 식이 첫 번째 넓이임이 더 명확하겠네요 Δx를 곱해줍니다 이제 이 식을 다시 보면 f(1)의 값은 0이 됨을 알 수 있습니다 따라서 주어진 식은 f(2)의 값에 높이를 곱해서 절반을 취하면 되겠죠 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 같습니다 두 번째 사다리꼴을 살펴봅시다 이 사다리꼴을 2번 사다리꼴이라 할게요 이 영역의 넓이는 얼마일까요? 우선 f(2)에 f(3)을 더합니다 f(2)는 이 높이이고요 f(3)은 이 높이입니다 이 높이들의 평균을 구하면 됩니다 2로 나누면 되겠죠 이제 밑변의 길이인 Δx를 곱합니다 세 번째 사다리꼴을 살펴봅시다 이제 혼자서도 하실 수 있겠죠? 세 번째 사다리꼴의 넓이는 f(3)에 f(4)를 더해 2로 나눈 후 Δx를 곱하면 됩니다 다음 사다리꼴을 봅시다 색이 다 떨어졌네요 이 도형을 4번 사다리꼴이라 합시다 넓이는 f(4)+f(5)를 2로 나누어 Δx를 곱하면 됩니다 사다리꼴이 한 개 남았네요 노란색으로 표시하겠습니다 번호를 붙이면 5번이 되겠네요 공간이 없으니 화면을 약간만 내리겠습니다 이쪽에 식을 쓰겠습니다 f(5)+f(6)을 2로 나누어 Δx를 곱해줍니다 이 식을 어떻게 정리할 수 있을까요? 모든 항에 ½Δx가 포함되어 있으므로 묶어내 보도록 할게요 기억하셔야 할 것은 우리가 구하는 것이 넓이의 근삿값이라는 겁니다 정확한 값이 아니에요 사다리꼴을 이용해서 넓이를 구하는 방법은 쉽다는 장점이 있지만 약간의 넓이가 손실됩니다 이 부분의 넓이는 무시하지요 이 부분의 넓이는 계산하지 못합니다 보이시죠? 여기 있는 아주 작은 넓이는 고려하지 못합니다 따라서 근삿값은 원래 넓이보다 작아지겠지만 그래도 이 근사는 꽤 정확합니다 이제 이 식을 어떻게 정리할지 생각해봅시다 넓이의 근삿값은 ½Δx를 밖으로 빼내도록 할게요 ½Δx를 밖으로 빼내도록 할게요 이제 어떤 식이 남았습니까? 색을 바꾸도록 할게요 첫 번째 항에서는 f(1)이 나옵니다 f(2)는 두 개가 나오죠 따라서 f(2)의 두 배를 더해줍니다 이 과정을 다 설명하는 이유는 여러분의 미적분학 교과서에서 비슷한 식이 나올 수 있기 때문입니다 이 방법은 이상한 방법이 아니에요 사다리꼴의 넓이를 단지 더할 뿐입니다 f(3)도 두 개가 있으므로 f(3)의 두 배를 더해줍니다 마찬가지로 f(4)의 두 배를 더해주고 f(5)도 두 배를 더해줍니다 마지막으로, 한 개의 f(6)을 더해줍니다 이 결과를 일반화해봅시다 첫 번째 끝점의 함숫값과 마지막 점의 함숫값은 각각 한 번 더해지고 나머지 점의 함숫값은 두 번씩 더해집니다 하지만 이 값은 단지 사다리꼴의 넓이일 뿐이죠 저는 사실 이 방법을 그렇게 좋아하지는 않습니다 왜냐하면 이 식으로부터는 사다리꼴을 시각화하기 어렵기 때문입니다 하지만 이 위의 식을 보면 사다리꼴을 시각화하기 쉬워지지요 그래도 우리는 아래쪽 식을 계산해보도록 하겠습니다 다행히도 계산이 간단하네요 Δx의 값은 1입니다 Δx의 값은 1입니다 이제 이 값을 모두 계산하면 되겠죠 f(1)을 계산하기 위해 원래 함수가 무엇이었는지 생각해봅시다 원래 함수는 f(x)=√(x-1)이었네요 원래 함수는 f(x)=√(x-1)이었네요 따라서 f(1)=√(1-1)이기 때문에 0이 됩니다 여기 있는 f(2)의 값은 2-1의 제곱근의 두 배가 되겠습니다 √(2-1)=1이므로 2가 되겠네요 같은 보라색으로 표시했지만 이 항은 두 개의 사다리꼴에서 나온 것임을 알려드립니다 물론 이미 알고 계시겠지만요 그냥 색을 바꾸지 않고 쓴 겁니다 다시, f(3)을 계산해봅시다 3-1=2이므로 제곱근을 취하면 f(3)=√2입니다 따라서 이 값은 2√2가 됩니다 f(4)의 값은 얼마일까요? f(4)=√3이므로 이 항의 값은 2√3입니다 마지막으로 얻게 되는 값은 5-1=4의 제곱근인 √4입니다 √4의 두 배는 4죠 마지막으로, f(6)의 값은 √5가 됩니다 이제 계산할 수 있겠네요 제 계산기인 TI-85를 사용합시다 계산해봅시다 제일 앞에 곱해지는 값은 0.5입니다. 괄호를 열고 첫 항의 값은 0이네요 이해를 돕기 위해 그냥 쓰도록 하겠습니다 0 더하기 2 더하기 이런, 계산기가 없어졌네요 2√2를 더하고 2√3과 4를 더하고 √5까지 더해줍니다 이제 다 적었으니 값을 구해보면 대략 7.26이 나오네요 따라서 넓이는 대략 7.26입니다 곡선 y=√(x-1)과 직선 x=1, x=6 사이의 넓이 말이죠 사다리꼴을 이용해 구했습니다