리만 합의 근삿값

오늘 이 영상에서 우리가 할 것은 오늘 이 영상에서 우리가 할 것은 함수 y = x²+1 그래프에서 x=1 부터 x=3 까지의 밑면적을 근사하여 구하는 것입니다 근사하는 방법은 그래프 아래에 동일한 폭의 직사각형을 만드는 것입니다 먼저 직사각형이 어떻게 생겼을지 생각해봅시다 동일한 폭을 가진 네 개의 직사각형 이렇게 생겼을 것입니다. 아직 우리는 직사각형의 높이를 정의하지 않았습니다 하지만 우선 네 직사각형의 폭이 같기 위해서는 두께를 어느정도로 해야할 지에 대해 생각해봅시다 직사각형의 폭을 Δx라고 부릅시다 여기 이 길이를 Δx라고 부르는 것입니다 그러므로 총 Δx의 길이는 x축을 따라 1에서 시작하여 3에서 끝납니다 그리고 4개의 직사각형은 같은 폭이어야 하기 때문에, Δx의 길이는 ½이 됩니다 예를 들어, 첫번째 사각형과 두번째 사각형의 경계값은 1.5가 될 것입니다 여기서 ½만큼 더 가면 2가 되고 또 ½만큼 더 가면 2.5가 되는 것입니다 그리고 ½만큼 또 가면 3이 됩니다 그럼 이제 사각형의 높이를 어떻게 정의할지 생각해봅시다 이 영상에 한해서 후에 다른 영상에서 보듯 다른 방법이 있지만 사각형의 왼쪽 경계값을 사각형의 높이를 구할 때 사용하겠습니다 함수의 왼쪽 경계값의 함숫값을 높이로 정하겠습니다 예를 들어 첫 번째 사각형의 경우 이 점은 f(1)을 의미하는데 이 값이 바로 첫 번째 사각형의 높이가 됩니다 이제 두 번째 사각형의 왼쪽 경계를 생각해보면 x가 1.5일때의 함숫값인 즉, f(1.5)가 바로 높이입니다 이렇게 우리는 두 번째 사각형의 높이도 구할 수 있습니다 그리고 이 과정을 반복합시다 세 번째 사각형을 생각해보면 x가 2일때의 함숫값이 필요합니다 x가 2일때의 함숫값이 필요합니다 바로 이 점 입니다 이것이 f(2)입니다 그러면 우리는 세 번째 사각형의 높이도 구할 수 있습니다 마지막으로 네 번째 사각형은 x가 2.5일때의 함숫값을 구하면 그 값이 바로 높이가 됩니다 이 점이 f(2.5)입니다 우리는 사각형의 높이를 구하기 위해 사각형의 왼쪽 경계의 함숫값만 고려함을 반드시 기억해야합니다 사각형의 높이를 이렇게 설정했을 때 사각형의 넓이의 총 합을 이용한 아래 면적의 근삿값은 얼마일까요? 사실, 이 방법은 완벽한 근사는 아닙니다 상당히 많은 면적을 고려하고 있지 않기 때문입니다 계산에 포함하지 않은 영역을 that I have not used. 여기 그리고 여기 또 여기 또 여기 또 이 영역들을 계산에 포함하지 않았습니다 하지만 이것은 단순히 근사입니다 만약에 더 많은 사각형을 만들었다면 더 정확한 근삿값이 되었겠죠 먼저 각 사각형의 영역이 얼마인지 알아봅시다 첫 번째 사각형의 면적은 높이인 f(1)에 폭인 Δx를 곱한 값입니다 두 번째 사각형의 면적은 우리가 이미 구했듯 높이인 f(1.5)에 폭인 Δx를 곱한 값입니다 세 번째 사각형의 면적은 왼쪽 경계의 함수값인 f(2) 즉 f(2)에 Δx를 곱한 값입니다 마지막으로, 네 번째 사각형의 넓이는 높이가 f(2.5) 입니다 제가 원하던 색은 제가 원하던 색은 주황색을 이용합시다 x가 2.5일때의 함숫값에 폭을 곱해준 값을 더하면 됩니다 이 값이 바로 우리가 근사한 곡선의 아래면적입니다 즉, 사각형의 면적의 총 합입니다 그럼 이 값을 계산해봅시다 f(1) 값은 x=1일때의 함숫값이니 1² 더하기 1 즉 2에 ½을 곱한 값입니다 x가 1.5일때의 함숫값을 구하면 1.5의 제곱은 2.25이고 거기에 1을 더하면 3.25가 됩니다 그러니 3.25에 ½을 곱한 값을 더해주면 됩니다 다음으로 x가 2일때의 함숫값을 구하면 2² 더하기 1 즉 5에 ½을 곱한 값을 더하면 됩니다 마지막으로, x가 2.5일때의 함숫값을 구하면 2.5의 제곱인 6.25에 1을 더한 값인 7.25에 ½을 곱한 값입니다 계산을 간편하게 하기 위해 공통 인자인 ½을 뽑아냅시다 이 값은 ½을 하얀색으로 적을까요 ½ 곱하기 2 + 3.25 + 5 + 7.25 즉 ½에 암산할 수 있는지 봅시다 2 더하기 5는 쉽죠 7입니다 3에 7을 더하면 10이고 0.25 더하기 0.25가 남았습니다 이 값은 10.5가 되고 여기에 7을 더하면 17.5입니다 즉 17.5에 ½을 곱해주면 8.75가 되겠습니다 즉 다시 말하자면 구한 근삿값은 정확히 말해서 여기에 그린 함수의 밑면적보다 작을 것입니다 아까 칠했던 분홍색 부분을 고려하지 않았으니까요 실제 값보다는 작지만, 그래프 밑면적의 근삿값이니 괜찮습니다 이후 몇 개의 영상에서 임의의 함수와 임의의 사각형 개수에 대해 일반화시키겠습니다 그 뒤의 비디오에서는 사각형의 높이를 왼쪽 경계가 아닌 오른쪽 경계 또는 중앙값으로 계산할 것입니다 또 어쩌면 직사각형을 사용하지 않을지도 모릅니다 부등변 사각형을 사용할지도 모르죠 무엇이 되었든 즐겁게 공부하시길 바랍니다 커넥트 번역 봉사단 | 심미형